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Fo nctions définies par une série entière
DÉFINITION 5. 7 Soit f une fo nction de C dans C définie dans un voisinage
de l'origine. On dit que f est développable en série entière dans un voisinage de l'origine s'il existe une série entière complexe L n an z n de rayon de
convergence non nul et un voisinage V de l'origine tels que
+oo
't:/ z EV
f(z) = L an Z n .
n=O
Exemples
1. Une fonction polynomiale f 1 : z f-+ L� =D Cn z n de degré d est développable en série entière dans un voisinage de l'origine car pour tout z E C on a
fi (z) = L!:O an z n où les coefficients (an)n sont définis par an = Cn pour tout
n E {O, . .. , d} et an = 0 sinon.
2. La fonction f2 : z f-+ (1 - z) - 1 est développable en série entière dans un
voisinage de l'origine car pour tout z E D(O, 1) on a f2(z) = L!:O z n .
3. La fonction fa : z f-+ (1 - z 4) - 1 est développable en série entière dans un
voisinage de l'origine car par la substitution zen z4 dans l'expression obtenue
dans l'exemple précédent, on obtient fa(z) = Lt,:O z4 k pour tout z E D(O, 1).
4. La fonction exponentielle complexe est développable en série entière dans un
voisinage de l'origine car pour tout z E C on a, voir la définition 4.15 p. 204,
exp(z) = ._.. +oo
1... z n .
L..J n=O n!
5. Les fonctions sinus, cosinus, sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique sont
développables en série entière dans un voisinage de l'origine puisque d', après la
proposition 4.21 p. 210, on a pour tout z E C
+oo (- l ) n
2 n
cos(z) = � (2n)!
z ,
+oo 1
ch(z) = � (2n)! z 2 n ,
Remarques
+oo (- l ) n
sin(z) = L
z 2 n+l
n=O (2n + 1 )!
'
+oo 1
sh(z) = L
1 z 2 n+1 .
n=O (2n + 1).
1. Pour zo E C*, on dit qu'une fonction f de C dans C est développable en série
entière dans un voisinage de zo s'il existe une série entière complexe L n an z n
de rayon de convergence non nul et un voisinage V de z0 tels que
+oo
't:/ z EV f(z) = L an ( z - zo t .
n=O
2. Une application f d'un ouvert U de C dans C est dite analytique sur U
si pour tout z0 E U l'application f est développable en série entière dans un