Séries entières
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voisinage de zo. On démontre ( 2 0 > que la somme d'une série entière de rayon de
convergence R non nul est analytique dans le disque ouvert D(O, R).
o
THÉORÈME 5.5 (Série de Mac-Laurin)
Soit f une fo nction de C dans C développable en série entière dans un voisinage de l'origine. Il existe un voisinage V de l'origine tel que f soit indéfiniment CC-dérivable sur V et
Vz EV
+oo
f(z) = L �f( n ) (O) z n .
n=O n.
La série entière L n :;h f( n ) (0) z n est appelée série de Mac-Laurin de f.
Démonstration Soit f une fonction complexe de la variable complexe développable en série entière dans un voisinage de l'origine. D'après la définition 5.7,
il existe un voisinage V de 0 et une série entière L n an z n de rayon de convergence R non nul tels que pour tout z EV on ait : f(z) = L�:O an z n .
D'après la proposition 5.7, l'application f, qui sur V est la somme de la série
entière L n an z n , est indéfiniment dérivable et pour tous p E N* et z E V on a
+oo k l
+oo k l
f( P) ( ) - � '
k - p _ 1
�
'
k - p
z - L (k
_
) !
a k z - p . ap + L (k _ p) ! a k z .
k=p p
k=p+I
En évaluant cette expression en z = 0, on obtient f( P) (0) = p! a p pour tout
p E N* . On a aussi f(O) = ao = O! ao. On en déduit que pour tout
n E No n a an = :;hf( n ) (O) et par conséquent que pour tout z E V, on a
f(z) = L�:O :;hf( n ) (O) z n .
D
COROLLAIRE 5.2 (Unicité du développement en série entière)
Soit f une fo nction de C dans C définie dans un voisinage de l'origine. Si
f est développable en série entière dans un voisinage de l'origine alors ce
développement est unique et est donné par la série de Mac-Laurin.
Démonstration Il a été établi dans la preuve du théorème 5.5 que si f est
une fonction complexe admettant un développement en série entière dans un
voisinage de l'origine de la forme f(z) = L�:O an z n alors an = :;h J ( n ) (O). Le
développement est donc entièrement déterminé par f et est unique : il s'agit
du développement de Mac-Laurin.
D
( 2 0) Vo ir par exemple H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques, Hermann, 1961.
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voisinage de zo. On démontre ( 2 0 > que la somme d'une série entière de rayon de
convergence R non nul est analytique dans le disque ouvert D(O, R).
o
THÉORÈME 5.5 (Série de Mac-Laurin)
Soit f une fo nction de C dans C développable en série entière dans un voisinage de l'origine. Il existe un voisinage V de l'origine tel que f soit indéfiniment CC-dérivable sur V et
Vz EV
+oo
f(z) = L �f( n ) (O) z n .
n=O n.
La série entière L n :;h f( n ) (0) z n est appelée série de Mac-Laurin de f.
Démonstration Soit f une fonction complexe de la variable complexe développable en série entière dans un voisinage de l'origine. D'après la définition 5.7,
il existe un voisinage V de 0 et une série entière L n an z n de rayon de convergence R non nul tels que pour tout z EV on ait : f(z) = L�:O an z n .
D'après la proposition 5.7, l'application f, qui sur V est la somme de la série
entière L n an z n , est indéfiniment dérivable et pour tous p E N* et z E V on a
+oo k l
+oo k l
f( P) ( ) - � '
k - p _ 1
�
'
k - p
z - L (k
_
) !
a k z - p . ap + L (k _ p) ! a k z .
k=p p
k=p+I
En évaluant cette expression en z = 0, on obtient f( P) (0) = p! a p pour tout
p E N* . On a aussi f(O) = ao = O! ao. On en déduit que pour tout
n E No n a an = :;hf( n ) (O) et par conséquent que pour tout z E V, on a
f(z) = L�:O :;hf( n ) (O) z n .
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COROLLAIRE 5.2 (Unicité du développement en série entière)
Soit f une fo nction de C dans C définie dans un voisinage de l'origine. Si
f est développable en série entière dans un voisinage de l'origine alors ce
développement est unique et est donné par la série de Mac-Laurin.
Démonstration Il a été établi dans la preuve du théorème 5.5 que si f est
une fonction complexe admettant un développement en série entière dans un
voisinage de l'origine de la forme f(z) = L�:O an z n alors an = :;h J ( n ) (O). Le
développement est donc entièrement déterminé par f et est unique : il s'agit
du développement de Mac-Laurin.
D
( 2 0) Vo ir par exemple H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques, Hermann, 1961.