Séries entières
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Exemples
1. La série entière complexe I: n z n admet pour rayon de convergence 1. La
som me de cette série entière est donc indéfiniment C-dérivable sur D(O, 1) et
pour tous p EN* et z E D(O, 1) on a
+oo 1
( P) (z)
=
'""' n. z n - p .
L..t (n - p)!
n=p
Comme la somme de la série entière est l'application : z E D(O, 1) r-+ ( l -z) - 1
et que ( P) (z)
=
p!/(1 - z) P +1 , on en déduit que
Vz E D(O, 1)
+oo
__
1
__
=
'""' c� z n - p .
(1 - z)P +l �
2. Considérons la fonction de Bessel d'ordre 0 qui est la somme sur C de la
série entière I: n \-;iU; (�) 2 n . Nous avons établi à l'exercice 5. 4 que cette série
entière lacunaire a pour rayon de convergence R
=
+oo et pour tout z E C, on
peut écrire Jo (z) = I:t� a k z k où a k
=
0 si k est impair et a k
=
4L-(�!J2 si k est
pair avec k
=
2n, n EN. Il résulte de la proposition 5.7 que Jo est indéfiniment
C-dérivable sur C. La dérivée seconde de J0 est donnée par
J i (z)
+oo
L k(k - l )a k z k -2
k= 2 indices k impairs k= 2 n+l
indices k pairs k= 2 n+ 2
+oo
+oo
L(2n + 1)(2n) a 2 n+l z 2 n - l + L(2n + 2)(2n + 1) a 2 n+ 2 z 2 n
n=l
'-.,,- -'
n=O
=0
+oo
(-1r +i
=
� (2n + 2)(2n + 1) 4 n+l ((n + 1)!) 2 z 2 n
+oo (-1r +1 2n + 1 (�
2
)2 n
� n! x (n + 1)! 2
5.2.3 Fonction développable en série entière
Jusqu'à présent notre propos a consisté, étant donné une série entière complexe
de rayon de convergence R non nul, à étudier sur le disque de convergence les
propriétés de la fonction qui est la somme de la série entière. Dans cette partie,
nous nous intéressons au problème inverse : étant donné une fonction de la
variable complexe définie dans un voisinage de l'origine, existe-t-il une série
entière dont la somme soit cette fonction ?