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Fonctions définies par une série entière
Il résulte par ailleurs des relations
cos(z) = ! (exp(iz) + exp(-iz)),
sin(z) = � (exp(iz) - exp(-iz))
et
ch(z) = ! (exp(z) + exp(-z)), sh(z) = ! (exp(z) - exp(-z)),
et de la proposition 4.15 p. 199 que les fonctions sinus et sinus hyperbolique
complexes, cosinus et cosinus hyperbolique complexes sont holomorphe sur C.
Pour tout z E e, on a
cos'(z)
sin' (z)
- sin(z)
cos(z)
ch' (z)
sh' (z)
sh(z)
ch(z)
La détermination principale du logarithme complexe est définie sur l'ensemble
e t = e \ {z E e ; Re(z) � 0 et Im(z) = O} par
Log : z E e t 1---+ ln(lzl) + iArg(z)
où Arg désigne la détermination principale de l'argument : Arg(z) E] - 11", 7r[.
Pour tout z E e t on a exp(Log(z)) = z et par conséquent (exp(Log(z))) ' = 1.
Comme par ailleurs, (exp(Log(z))) ' = Log'(z) exp(Log(z)) = z Log' (z), on en
déduit que
1 Log'(z) = �- 1
Exercice 5.6
Montrer que la fonction de Bessel d'ordre 0 définie par
+ oo (-l) n ( z ) 2 n
Jo(z) = � (n!) 2 2
est holomorphe sur e et que pour tout z E e on a
'
+ oo (-l) n ( z ) 2 n+l
J o (z) = - � n! x (n + 1)! 2
·
Plus généralement, on a le résultat suivant concernant les dérivées successives
de la somme d'une série entière. Il se démontre par récurrence sur l'entier p en
utilisant le théorème 5.4.
PROPOSITION 5. 7 Soit E n a n z n une série entière complexe de rayon de
convergence R non nul. La somme

e-dérivable sur le disque de convergence D(O, R) et pour tout p E N* on a
+ oo
1

a n z n -p.
n=p
p