Séries entières
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Exemples
1 . La série entière complexe L n z n admet pour rayon de convergence 1 et pour
somme l'application D(O, 1 ) et pour tout z E D(O, 1) on a
1
+oc
= �(n + 1 ) z n .
2. La série L n (n + 1 ) z" a pour rayon de convergence 1. Sa somme qui est
l'application pour tout z E D(O, 1),
2
+oc
( l _ z) 3 = �(n + l )(n + 2) z n .
Remarque Il résulte du théorème 5.4 que les séries entières peuvent être
dérivées « terme à terme » sur leur disque de convergence sans qu'il soit au
préalable nécessaire d'étudier la série des dérivées comme c'est le cas pour les
séries de fonctions, voir le théorème 3.9 p. 139. Attention toutefois au fait que
cette propriété n'est pas valable sur le cercle de convergence.
o
Propriétés de dérivabilité des fonctions usuelles de la variable complexe
Intéressons-nous aux propriétés de dérivabilité des fonctions usuelles de la variable complexe introduites dans la section 4. 7 du chap. 4. La série entière
L n � z n a pour rayon de convergence R = +oo. Sa somme qui est la fonction
exponentielle complexe est donc holomorphe sur +oc
1
+oc 1
exp'(z) = I)n + 1 ) ( l ) I z n = L I z n = exp(z).
n=O
n + 0
n=O n.
La dérivée de la fonction exponentielle est donc la fonction exponentielle elle
même :
jvz E c exp'(z) = exp(z). 1
Exercice 5.5 En appliquant le théorème des accroissements finis <19> à
la fonction exponentielle complexe entre z et 0, montrer que pour tout
z E D(O, 1 ) on a 1 exp(z) - l i ::::; e lzl.
(19) •
,
'
Voir le theoreme 4.2 p. 201.