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Fo nctions définies par une série entière
Démonstration Commençons par remarquer que l'égalité des deux sommes
L�:O ( n + 1) an +l z n et L�,:i n an z n - l résulte du changement d'indice n en
n - l. Par ailleurs, d'après la proposition 5.2, les séries entières L n an z n et
L n ( n + 1) an +l z n ont même rayon de convergence R. Cela implique que pour
tout r E [ü, R[, la série numérique L n (n + 1) an +l r n converge absolument.
Pour montrer que l'application est holomorphe sur D(O, R), il faut montrer
qu'elle est holomorphe en zo pour tout zo E D(O, R). Soit zo un complexe fixé
tel que lzo l < R et r le réel � (R + lzo l). On a lzol < r < R et pour tout
z E D(O, r) avec z f:. zo et pour tout n EN*,
où Pn : z E C 1--+ L� =l z n - k z� - l est une fonction polynomiale de degré n - l .
On en déduit que :
(z) - (zo) = � a � z n - z0 �
� .. ---"- = � an Pn( z).
z - zo
n=O z - zo n=O
Pour montrer que est holomorphe en zo, il faut montrer que cette quantité
admet une limite quand z tend vers zo. Pour tout z E D(O, r), on a
n
n
lan Pn(z)I � lanl L lzl n - k lzo l k - l :::; lanl L r n - k r k - l = n lanl r n - l .
On en déduit que
k=l
k=l
sup lanPn(z) I :::; n lanlr n - l .
zED(O,r)
Puisque la série numérique L n ( n + 1) ian _;1 I r n converge < 1 8 > , on en déduit que la
sene L n an Pn (z) converge normalement sur D(O, r ) . Sa somme
'l/; : z E D(O,r) 1--+ L�:O an Pn(z) est d'après le théorème 5.3 une fonction
continue sur D(O, r). En particulier, 'ljJ est continue en z0 ; on a donc
. (z) - (zo)
.
Inn
= hm 'l/;(z) = 'l/;(zo).
z-+zo
Z - Zo
z-+zo
On en conclut que la dérivée de en zo existe et vaut '(zo) = 'l/;(z0). Or,
+oo
'l/;(zo) = L an Pn(zo) et
n=O
n
n
( ) � n - k k - 1 � n - 1
n - 1
Pn zo = � z 0 z 0 = � z 0 = n z 0 .
k=l
k=l
On a donc '(zo) = L�,:i nan z� - l et le théorème est démontré.
0
(l 8 ) Les deux séries entières L:: n n lanl r n -l et L:: n (n + 1) lan+1 lr n sont identiques car les
deux expressions correspondent aux changement d'indice n en n + 1.