Séries entières
Pour tout z E D(O, r) et pour tout n EN on a
n
n
n
l(z) - (zo)I = j(z) - L a k z k + L a k (z k - z�) + L a k z� - (zo) j
k=O
k=O
k=O
n
n
n
249
:::; ; j(z) - L: a k z k j + jL: a k (z k - z �) I + j(zo) - L: a k z � I ·
k=O
k=O
k=O
Comme la série entière L n a n z n converge uniformément sur D (O, r) et a pour
somme , d'après l'assertion (2) p. 246, il existe N E N tel que pour tout
z E D(O, r) on ait l(z) - L: = o a k z k l :::; ; -ké. De plus, puisque zo E D(O, r)
on a en particulier l(zo) - L: = o a k z�I :::; ; -ké. On en déduit que pour tout
z E D(O, r) ,
N
l(z)-(zo )I :::; ; � é+j l:ak (z k - z �) j.
(5)
k=O
Comme la fonction N : z r-+ L: = o a k z k est continue sur D (O, r) (il s'agit d'une
fonction polynomiale), il existe un réel 'r/ strictement positif tel que ci 7>
Vz E D(O, r) (lz - zol :::; ; 'r/ � lN(x) - N(xo) I :::; ; i é ) .
On déduit alors de la relation (5) que pour tout z E D(O, r) tel que lz - zo l :::; ; 'r/
on a l(z)-(zo)I :::; ; -ké+ -ké+ -ké = é. On a ainsi montré que l'application est
continue en zo pour tout zo E D (O, R). Elle est donc continue sur D(O, R). D
5.2.2 Dérivabilité de la fonction sonune
Les résultats concernant la dérivabilité de la fonction qui est la somme d'une
série entière correspondent à des cas particuliers des résultats généraux concernant la dérivabilité de la somme d'une série de fonctions. Dans le chap. 3, nous
avons établi ces résultats dans le cas des séries de fonctions réelles en ayant recours à l'intégrale de Riemann. Dans le cas des séries de fonctions de la variable
complexe, la justification des résultats concernant la dérivabilité de la fonction
somme ne peut utiliser la même approche. Dans le chap. 4 nous avons admis
les résultats concernant la dérivabilité de la somme d'une série de fonctions de
la variable complexe. Nous allons en donner ici une justification dans le cas
particulier des séries entières.
THÉORÈME 5.4 Soit L n a n z n une série entière complexe de rayon de conver
gence R non nul. Sa somme est une application holomorphe sur le disque
de convergence D(O, R) et pour tout z E D (O, R) on a
+ oo
+ oo
' (z) = L(n + 1) a n+l Z n = L nan z n
-
l .
n=O
n=l
De plus, la série entière L n an z n et sa dérivée L n (n + 1) a n+l z n ont m�me
rayon de convergence.
Pour tout z E D(O, r) et pour tout n EN on a
n
n
n
l(z) - (zo)I = j
k=O
k=O
k=O
n
n
n
249
:::; ; j
k=O
k=O
k=O
Comme la série entière L n a n z n converge uniformément sur D (O, r) et a pour
somme , d'après l'assertion (2) p. 246, il existe N E N tel que pour tout
z E D(O, r) on ait l(z) - L: = o a k z k l :::; ; -ké. De plus, puisque zo E D(O, r)
on a en particulier l(zo) - L: = o a k z�I :::; ; -ké. On en déduit que pour tout
z E D(O, r) ,
N
l(z)-(zo )I :::; ; � é+j l:ak (z k - z �) j.
(5)
k=O
Comme la fonction N : z r-+ L: = o a k z k est continue sur D (O, r) (il s'agit d'une
fonction polynomiale), il existe un réel 'r/ strictement positif tel que ci 7>
Vz E D(O, r) (lz - zol :::; ; 'r/ � lN(x) - N(xo) I :::; ; i é ) .
On déduit alors de la relation (5) que pour tout z E D(O, r) tel que lz - zo l :::; ; 'r/
on a l(z)-(zo)I :::; ; -ké+ -ké+ -ké = é. On a ainsi montré que l'application est
continue en zo pour tout zo E D (O, R). Elle est donc continue sur D(O, R). D
5.2.2 Dérivabilité de la fonction sonune
Les résultats concernant la dérivabilité de la fonction qui est la somme d'une
série entière correspondent à des cas particuliers des résultats généraux concernant la dérivabilité de la somme d'une série de fonctions. Dans le chap. 3, nous
avons établi ces résultats dans le cas des séries de fonctions réelles en ayant recours à l'intégrale de Riemann. Dans le cas des séries de fonctions de la variable
complexe, la justification des résultats concernant la dérivabilité de la fonction
somme ne peut utiliser la même approche. Dans le chap. 4 nous avons admis
les résultats concernant la dérivabilité de la somme d'une série de fonctions de
la variable complexe. Nous allons en donner ici une justification dans le cas
particulier des séries entières.
THÉORÈME 5.4 Soit L n a n z n une série entière complexe de rayon de conver
gence R non nul. Sa somme est une application holomorphe sur le disque
de convergence D(O, R) et pour tout z E D (O, R) on a
+ oo
+ oo
' (z) = L(n + 1) a n+l Z n = L nan z n
-
l .
n=O
n=l
De plus, la série entière L n an z n et sa dérivée L n (n + 1) a n+l z n ont m�me
rayon de convergence.