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Fonctions définies par une série entière
Convergence normale
Convergence uniforme
Convergence absolue
Convergence simple
'-- Divergence grossière
Convergence absolue
Nature indéterminée
Fig. 2 Visualisation des différents type de convergence dans le
disque de convergence d'une série entière.
5.2 Fonctions définies par une série entière
5.2.1 Continuité de la fonction somme
Le terme général d'une série entière étant polynomial, il définit une application
continue sur C. On déduit des résultats généraux concernant les séries de fonctions que la somme d'une série entière est continue sur tout ensemble où la série
converge uniformément ; en particulier d'après le théorème 5.2 sur tout disque
fermé D(O, r) où r E]O, R[ inclus dans le disque de convergence. Le théorème
suivant indique qu'une série entière est en fait continue sur tout son disque de
convergence.
THÉORÈME 5.3 (Continuité de la somme d'une série entière)
Soit L n an z
n une série entière complexe dont le rayon de convergence R est
non nul. Sa somme est une application continue sur le disque de convergence
D(O, R) .
Démonstration Désignons par n
. Montrer que
l'application en zo pour tout zo E D(O, R). Pour z E D(O, R) fixé, désignons par r le réel
�(R + lzol) ; il vérifie lzol < r < R. Pour montrer que il faut montrer c1 7 J que pour tout réel é strictement positif fixé, on peut trouver un réel 'T/ strictement positif tel que pour tout complexe z E D(O, r ) avec
lz - zo l � 'TJ on ait l
Fonctions définies par une série entière
Convergence normale
Convergence uniforme
Convergence absolue
Convergence simple
'-- Divergence grossière
Convergence absolue
Nature indéterminée
Fig. 2 Visualisation des différents type de convergence dans le
disque de convergence d'une série entière.
5.2 Fonctions définies par une série entière
5.2.1 Continuité de la fonction somme
Le terme général d'une série entière étant polynomial, il définit une application
continue sur C. On déduit des résultats généraux concernant les séries de fonctions que la somme d'une série entière est continue sur tout ensemble où la série
converge uniformément ; en particulier d'après le théorème 5.2 sur tout disque
fermé D(O, r) où r E]O, R[ inclus dans le disque de convergence. Le théorème
suivant indique qu'une série entière est en fait continue sur tout son disque de
convergence.
THÉORÈME 5.3 (Continuité de la somme d'une série entière)
Soit L n an z
n une série entière complexe dont le rayon de convergence R est
non nul. Sa somme est une application continue sur le disque de convergence
D(O, R) .
Démonstration Désignons par n
. Montrer que
l'application en zo pour tout zo E D(O, R). Pour z E D(O, R) fixé, désignons par r le réel
�(R + lzol) ; il vérifie lzol < r < R. Pour montrer que il faut montrer c1 7 J que pour tout réel é strictement positif fixé, on peut trouver un réel 'T/ strictement positif tel que pour tout complexe z E D(O, r ) avec
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