Séries entières
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DÉFINITION 5.6 (Convergence normale)
Soit ( an)n une suite de complexes et Z un sous-ensemble de C. On dit que
la série entière L n an z n converge normalement sur Z si la série numérique
réelle L n U n de terme général Un = sup z EZ lan z n l converge.
Les séries entières étant des cas particuliers de séries de fonctions, si une série
entière converge uniformément sur un sous-ensemble de
convergence normale des séries de fonctions énoncés dans les chapitres 3 et 4,
s'appliquent au cas des séries entières.
Le résultat suivant est propre aux séries entières ; il indique que les ensembles
pour lesquels il y a convergence normale ou convergence uniforme d'une série entière sont inclus dans le disque de convergence. La figure 2 illustre le
théorème.
THÉORÈME 5.2 Soit L n an z n une série entière de rayon de convergence R.
Pour tout réel r E]O, R[, la série entière L n__ an z n converge normalement et
converge uniformément sur le disque fe rmé D(O, r).
Démonstration Soit z0 un complexe de module r E]O, R[. Puisque r < R,
z0 appartient au disque de convergence de la série entière et d'après le théorème 5.1, la série numérique L n anZÔ converge absolument. Or,
sup lan z n l = lanl sup lz n l = lanl r n = lanl lzo l n = lan z ô l ·
z E D(O,r )
z E D(O,r )
La convergence absolue de la série numérique L n anzô implique donc la convergence normale sur D(O, r) de la série entière L n an z n et par conséquent la
convergence uniforme sur D(O, r).
0
1 Une série entière converge simplement et absolument sur son disque de
convergence, mais la convergence normale ou uniforme sur le disque de
convergence n'est pas automatique comme le montrent les exemples suivants.
Exemples
1. La série entière L n z n a pour rayon de convergence 1 mais ne converge pas
normalement sur le disque D(O, 1) car sup z E D (O,l ) lz n l = 1 (et la série L n 1
diverge) . Elle ne converge pas non plus uniformément sur D(O, 1) comme cela
a été établi p. 246.
2. La série entière L n � l .,&- z n a pour rayon de convergence 1 et elle converge
normalement sur le disque fermé D(O, 1) car sup z E D(O,l ) 1.& z n l = ,&: et la série
de Riemann L n � l ,&: converge.
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DÉFINITION 5.6 (Convergence normale)
Soit ( an)n une suite de complexes et Z un sous-ensemble de C. On dit que
la série entière L n an z n converge normalement sur Z si la série numérique
réelle L n U n de terme général Un = sup z EZ lan z n l converge.
Les séries entières étant des cas particuliers de séries de fonctions, si une série
entière converge uniformément sur un sous-ensemble de
convergence normale des séries de fonctions énoncés dans les chapitres 3 et 4,
s'appliquent au cas des séries entières.
Le résultat suivant est propre aux séries entières ; il indique que les ensembles
pour lesquels il y a convergence normale ou convergence uniforme d'une série entière sont inclus dans le disque de convergence. La figure 2 illustre le
théorème.
THÉORÈME 5.2 Soit L n an z n une série entière de rayon de convergence R.
Pour tout réel r E]O, R[, la série entière L n__ an z n converge normalement et
converge uniformément sur le disque fe rmé D(O, r).
Démonstration Soit z0 un complexe de module r E]O, R[. Puisque r < R,
z0 appartient au disque de convergence de la série entière et d'après le théorème 5.1, la série numérique L n anZÔ converge absolument. Or,
sup lan z n l = lanl sup lz n l = lanl r n = lanl lzo l n = lan z ô l ·
z E D(O,r )
z E D(O,r )
La convergence absolue de la série numérique L n anzô implique donc la convergence normale sur D(O, r) de la série entière L n an z n et par conséquent la
convergence uniforme sur D(O, r).
0
1 Une série entière converge simplement et absolument sur son disque de
convergence, mais la convergence normale ou uniforme sur le disque de
convergence n'est pas automatique comme le montrent les exemples suivants.
Exemples
1. La série entière L n z n a pour rayon de convergence 1 mais ne converge pas
normalement sur le disque D(O, 1) car sup z E D (O,l ) lz n l = 1 (et la série L n 1
diverge) . Elle ne converge pas non plus uniformément sur D(O, 1) comme cela
a été établi p. 246.
2. La série entière L n � l .,&- z n a pour rayon de convergence 1 et elle converge
normalement sur le disque fermé D(O, 1) car sup z E D(O,l ) 1.& z n l = ,&: et la série
de Riemann L n � l ,&: converge.