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Série entière de la variable complexe
5.1.4 Convergence uniforme d'une série entière
La notion de convergence uniforme pour une série entière complexe correspond
à un cas particulier de convergence uniforme pour une série de fonctions de
la variable complexe et la définition suivante n'est qu'une reformulation de la
définition 3.4 p. 120 dans le cas particulier des séries entières.
DÉFINITION 5.5 (Convergence uniforme)
Soit (an)n une suite de complexes et Z un sous-ensemble de C. On dit que la
série entière L n an z n converge uniformément sur Z s'il existe une application

Ve E IR"f- 3N E N \:ln E N \:/z E Z
n
( n � N ==* 1 L :> k z k - (z)j :( c) .
k=O
L'assertion (2) peut encore s'exprimer sous la forme :
n
(2)
Vt: EIR"f- 3N EN Vn EN ( n�N ==::;. sup , L a k z k - zEZ k=O
ou encore sous la forme :
+oo
Vt: EIR"f- 3N EN Vn EN ( n�N ==::;. sup j L a k z k j :(c ). (4)
'
zEZ k=n+l
L'assertion (4) indique que la série entière L n an z n converge uniformément
sur Z si
+oo
lim sup j L a k z k j = O.
n->+oo zEZ k=n+l
Exemple La série entière L n z n ne converge pas uniformément sur D(O, 1) car
+oo k n+l
L k=n+l z = � - z et cette quantité n'est pas bornée sur D(O, 1) (considérer la
limite en z = 1). Par contre, pour tout r E]O, 1[, la série entière L n z n converge
uniformément sur D(O, r ) car
+ 00
n+l
sup 1 L z k l = _
r _ et
zED(O,r) k=n+l
1 - r
r n+l
lim -- = 0 .
n->+oo 1 - r
De même, la notion de convergence normale pour une série entière complexe
correspond à un cas particulier de convergence normale pour une série de fonctions de la variable complexe.