Séries entières
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D (O, Rb) , on déduit de l'inégalité lan + bnl � lanl + lbnl et des critères de
comparaison pour les séries à termes positifs < 1 6 l que la série L n en z n de terme
général Cn = an + bn converge absolument sur D(O, Rb) · On a donc Rs � Rb.
['.='. Dans le cas où Ra #- Rb, pour montrer que Rs = Rb, raisonnons par
l'absurde et supposons que Rs > Rb. Il existe alors un complexe z0 tel que
Rb < lzol < min(Rs , Ra) · Les séries L n anZÔ et L n CnZÔ convergent et puisque
bnzô = CnZÔ - anZÔ, la série L n bnzô converge aussi. Cela est absurde car zo
n'appartient pas au disque de convergence de la série entière L n bn z n . On en
conclut que si Ra > Rb alors Rs =Rb = min( Ra, Rb) ·
['.='. Dans le cas où Ra = Rb, on n'a pas nécessairement Rs = min(Ra , Rb)
comme le prouve l'exemple suivant : les séries L n � z n et L n -;_. 1 z n ont pour
rayon de convergence 1 et leur somme qui est la série nulle a pour rayon de
convergence +oo.
['.='. Le résultat concernant le rayon de convergence du produit de deux séries
entières est admis.
D
Remarque Les résultats donnés par la proposition 5.6 s'étendent au cas où
les séries ont pour rayon de convergence +oo.
<>
Exemples
1. Les séries L n � z n et L n :;;! z n ont pour rayon de convergence respectifs Ra = 1 et Rb = +oo. On a Ra i- Rb et la série entière L n nn �:- 1 Z n
qui est la somme de ces deux séries entières a pour rayon de convergence
Rs = min( Ra, Rb) = 1.
2. Les séries L n (-1 r Z n et L n Z n ont pour rayon de convergence Ra = Rb = 1.
Leur somme qui est la série L n 2z 2 n a un rayon de convergence Rs vérifiant
Rs � min( Ra, Rb) = 1. Comme par ailleurs la série entière lacunaire L n 2z 2 n
diverge en z = 1, on peut affirmer que son rayon de convergence vaut Rs = 1.
3. Les séries entières L n � l � z n et L n � l l -�: - 1 z n ont pour rayon de convergence Ra = Rb = 1 et leur somme qui est la série L n .f n z n a un rayon de
convergence Rs = +oo. On a donc Rs > min( Ra, Rb) = 1.
4. Les séries entières L n 7r n z n et L n ( l/7rr z n ont pour rayon de convergence
respectifs Ra = 1/7r et Rb = 7r. La série produit est L n Cn z n où
En utilisant la règle de D'Alembert, on établit que le rayon de convergence de
cette série entière est l/7r = min(Ra, Rb) ·
5. Les séries entières L n ' z n et L n 1 :;; , n z n ont pour rayon de convergence respectifs Ra = 1 et Rb = +oo. La série produit qui est L n � z n a pour rayon de
convergence R = +oo > min(Ra, Rb) ·
(1 6 ) •
Voir le théorème 1.2 p. 14.
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D (O, Rb) , on déduit de l'inégalité lan + bnl � lanl + lbnl et des critères de
comparaison pour les séries à termes positifs < 1 6 l que la série L n en z n de terme
général Cn = an + bn converge absolument sur D(O, Rb) · On a donc Rs � Rb.
['.='. Dans le cas où Ra #- Rb, pour montrer que Rs = Rb, raisonnons par
l'absurde et supposons que Rs > Rb. Il existe alors un complexe z0 tel que
Rb < lzol < min(Rs , Ra) · Les séries L n anZÔ et L n CnZÔ convergent et puisque
bnzô = CnZÔ - anZÔ, la série L n bnzô converge aussi. Cela est absurde car zo
n'appartient pas au disque de convergence de la série entière L n bn z n . On en
conclut que si Ra > Rb alors Rs =Rb = min( Ra, Rb) ·
['.='. Dans le cas où Ra = Rb, on n'a pas nécessairement Rs = min(Ra , Rb)
comme le prouve l'exemple suivant : les séries L n � z n et L n -;_. 1 z n ont pour
rayon de convergence 1 et leur somme qui est la série nulle a pour rayon de
convergence +oo.
['.='. Le résultat concernant le rayon de convergence du produit de deux séries
entières est admis.
D
Remarque Les résultats donnés par la proposition 5.6 s'étendent au cas où
les séries ont pour rayon de convergence +oo.
<>
Exemples
1. Les séries L n � z n et L n :;;! z n ont pour rayon de convergence respectifs Ra = 1 et Rb = +oo. On a Ra i- Rb et la série entière L n nn �:- 1 Z n
qui est la somme de ces deux séries entières a pour rayon de convergence
Rs = min( Ra, Rb) = 1.
2. Les séries L n (-1 r Z n et L n Z n ont pour rayon de convergence Ra = Rb = 1.
Leur somme qui est la série L n 2z 2 n a un rayon de convergence Rs vérifiant
Rs � min( Ra, Rb) = 1. Comme par ailleurs la série entière lacunaire L n 2z 2 n
diverge en z = 1, on peut affirmer que son rayon de convergence vaut Rs = 1.
3. Les séries entières L n � l � z n et L n � l l -�: - 1 z n ont pour rayon de convergence Ra = Rb = 1 et leur somme qui est la série L n .f n z n a un rayon de
convergence Rs = +oo. On a donc Rs > min( Ra, Rb) = 1.
4. Les séries entières L n 7r n z n et L n ( l/7rr z n ont pour rayon de convergence
respectifs Ra = 1/7r et Rb = 7r. La série produit est L n Cn z n où
En utilisant la règle de D'Alembert, on établit que le rayon de convergence de
cette série entière est l/7r = min(Ra, Rb) ·
5. Les séries entières L n ' z n et L n 1 :;; , n z n ont pour rayon de convergence respectifs Ra = 1 et Rb = +oo. La série produit qui est L n � z n a pour rayon de
convergence R = +oo > min(Ra, Rb) ·
(1 6 ) •
Voir le théorème 1.2 p. 14.