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Série entière de la variable complexe
Appliquons le critère de D'Alembert pour les séries numériques à la série
L n �z 2 n , z étant fixé dans C*. Notant U n = �z 2 n , on obtient pour tout n EN:
lun+i l = n + 1 lzl 2 .
lunl
n
Comme cette quantité tend vers lzl 2 quand n tend vers +oo, on en déduit que
- si lzl 2 < 1 (i.e. si lzl < 1), la série numérique L n U n converge absolument ;
- si lzl 2 > 1 (i.e. si lzl > 1), elle diverge.
Le rayon de convergence de la série entière L n � l �z 2 n est donc R = 1.
Dans le cas de cet exemple, on peut aussi procéder par changement de variable.
Si l'on pose Z = z 2 , on est ramené à la série entière non lacunaire L n � l � z n
pour laquelle on peut appliquer le critère de D'Alembert pour les séries entières.
On a
R = lim 1 n � l 1 = 1.
n-++oo ..!. n
Le rayon de convergence de la série entière L n � l � z n est donc R = 1. Compte
tenu du changement de variable qui a été effectué, on en conclut que le rayon
de convergence de la série entière L n � 1 � z 2 n est VR et vaut donc 1.
Exercice 5.4
Déterminer le rayon de convergence de la sene
L n \��j; ( �) 2 n ; en déduire l'ensemble de définition de la fo nction de Bessel
d'ordre 0 qui est la somme de cette série.
Nous avons évoqué p. 232 que (�e(C, C),+, x ) est un anneau commutatif. La
proposition suivante précise les propriétés du rayon de convergence de la somme
et du produit de deux séries entières.
PROPOSITION 5.6 Soient L n an z n et L n bn z n deux séries entières de rayon
de convergence respectifs Ra et Rb .
- La série entière qui est la somme de L n an z n et de L n bn z n admet un
rayon de convergence Rs qui vérifie :
· Rs = min( Ra, Rb) si Ra -f. Rb ;
· Rs � min(Ra, Rb) si Ra = Rb ·
- La série entière qui est le produit de L n an z n et de L n bn z n admet un
rayon de convergence R p qui vérifie :
Démonstration i:'.:: Supposons sans restreindre la généralité ci sJ que Ra �R b ·
Les deux séries entières L n an z n et L n bn z n convergeant absolument sur
( t s ) Les deux séries entières étant données, on peut toujours décider d'appeler Ra le plus
grand des deux rayons, Rb le plus petit et L: n an z n , L: n bn z n les deux séries entières
correspondantes.
Série entière de la variable complexe
Appliquons le critère de D'Alembert pour les séries numériques à la série
L n �z 2 n , z étant fixé dans C*. Notant U n = �z 2 n , on obtient pour tout n EN:
lun+i l = n + 1 lzl 2 .
lunl
n
Comme cette quantité tend vers lzl 2 quand n tend vers +oo, on en déduit que
- si lzl 2 < 1 (i.e. si lzl < 1), la série numérique L n U n converge absolument ;
- si lzl 2 > 1 (i.e. si lzl > 1), elle diverge.
Le rayon de convergence de la série entière L n � l �z 2 n est donc R = 1.
Dans le cas de cet exemple, on peut aussi procéder par changement de variable.
Si l'on pose Z = z 2 , on est ramené à la série entière non lacunaire L n � l � z n
pour laquelle on peut appliquer le critère de D'Alembert pour les séries entières.
On a
R = lim 1 n � l 1 = 1.
n-++oo ..!. n
Le rayon de convergence de la série entière L n � l � z n est donc R = 1. Compte
tenu du changement de variable qui a été effectué, on en conclut que le rayon
de convergence de la série entière L n � 1 � z 2 n est VR et vaut donc 1.
Exercice 5.4
Déterminer le rayon de convergence de la sene
L n \��j; ( �) 2 n ; en déduire l'ensemble de définition de la fo nction de Bessel
d'ordre 0 qui est la somme de cette série.
Nous avons évoqué p. 232 que (�e(C, C),+, x ) est un anneau commutatif. La
proposition suivante précise les propriétés du rayon de convergence de la somme
et du produit de deux séries entières.
PROPOSITION 5.6 Soient L n an z n et L n bn z n deux séries entières de rayon
de convergence respectifs Ra et Rb .
- La série entière qui est la somme de L n an z n et de L n bn z n admet un
rayon de convergence Rs qui vérifie :
· Rs = min( Ra, Rb) si Ra -f. Rb ;
· Rs � min(Ra, Rb) si Ra = Rb ·
- La série entière qui est le produit de L n an z n et de L n bn z n admet un
rayon de convergence R p qui vérifie :
Démonstration i:'.:: Supposons sans restreindre la généralité ci sJ que Ra �R b ·
Les deux séries entières L n an z n et L n bn z n convergeant absolument sur
( t s ) Les deux séries entières étant données, on peut toujours décider d'appeler Ra le plus
grand des deux rayons, Rb le plus petit et L: n an z n , L: n bn z n les deux séries entières
correspondantes.