Séries entières
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!::: Si la suite de terme général lan+i l/lanl tend vers +oo alors la suite (un)n tend
également vers +oo. D'après la règle de D'Alembert pour les séries numériques,
la série numérique L n lan z n l diverge quel que soit z E C* ; on en déduit
que R =O.
D
Exemples
1. Le rayon de convergence de la série entière L n � z n est +oo car :
1
. (n+l ) !
.
1
hm - 1 -= hm -- =O.
n-++oo
nï
n-++oo n + 1
2. Le rayon de convergence de la série entière L n i n z n est 1 car :
l
· n+l I
lim - 1 .
- = 1.
n-++oo l n
3. Le rayon de convergence de la série entière L n n! z n est 0 car :
. (n + l )!
.
hm
1
= Inn (n + 1) = +oo.
n-++oo n.
n-++oo
Remarque Comme dans le cas des séries numériques (voir la remarque p. 35),
la règle de Cauchy s'applique dans tous les cas où la règle de D'Alembert
s'applique. Toutefois selon l'expression du terme général de la série, la règle
de D'Alembert peut être plus simple à appliquer que la règle de Cauchy (ce
qui justifie l'énoncé des deux règles). Il existe des cas où la règle de Cauchy
permet d'obtenir le rayon de convergence alors que la règle de D'Alembert ne
le permet pas.
o
Exercice 5.3 En utilisant la règle de D'Alembert, calculer le rayon de
convergence des séries entières suivantes :
1 - L
ch(n) z n 2 - L ln (n) z n 3 - L hln) n z n
n
n;;;: l
n;;;: 2
n;;;: l
La proposition 5.5 ne s'applique pas aux séries entières lacunaires, c'est-àdire aux séries ayant un nombre infini de termes nuls (la suite de terme
général lan+i l/lanl n'étant alors pas définie). Dans ce cas, on peut toutefois
revenir au critère de D'Alembert pour les séries numériques et l'utiliser
comme cela a été fait dans la démonstration de la proposition 5.5.
Considérons pour illustrer cette mise en garde la série entière L n;;;: i �z 2 n . Il
s'agit d'une série entière lacunaire puisque ses coefficients sont donnés pour
tout m E N* par :
si m est pair
si m est impair