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Série entière de la variable complexe
Exemples
1. Le rayon de convergence de la série entière L n;?3l n 1 n z n est +oo car
lim � = lim n -1 =0.
n-++=
n-++=
2. Le rayon de convergence de la série entière L n (l� i) " z n est v'2 car
�
n f::1" ": :
1
lim " l( l + i) - n l = lim Y 2-2 n = fil "
n-++=
n-++=
v 2
Exercice 5.2 En utilisant la règle de Cauchy, calculer le rayon de convergence des séries entières suivantes :
2 - L n ° Z n (a E �)
n;?31
n ln(n )
3-'"'- -z n
� ln(n) n
n;?31
PROPOSITION 5.5 (Règle de D'Alembert pour les séries entières)
Soit L n an z n une série entière de rayon de convergence R dont les coefficients
sont tous non nuls à partir d'un certain rang et telle que la suite de terme
général lan+i l/lanl admette une limite e E [O, +oo[ ou tende vers +oo. On a
les propriétés suivantes :
- si f = 0 alors R = +oo ;
- si f E]O, +oo[ alors R = 1/f ;
- si e = +oo alors R =O.
Démonstration 12: Pour z E C*, considérons la suite (Un )n de terme général
U n = lan+lz n H I = lan+1 l lzl.
lan z n l
lanl
Si la suite de terme général lan+1 l/lanl admet pour limite le réel f E]O, +oo[
alors la suite (un)n converge vers e lzl. D'après la règle de D'Alembert pour les
séries numériques <14> , si la suite (un)n converge vers une limite k alors la série
numérique L n lan z n l converge absolument si k < 1 et diverge si k > 1. On en
déduit que :
- si e lzl < 1 (i.e. si lzl < 1/ €) , la série L n an z n converge absolument ;
- si e lzl > 1 (i.e. si lzl > 1/f), elle diverge.
Le rayon de convergence de la série entière L n an z n est donc R = 1/f.
12: Si la suite de terme général lan+1 l/lanl admet pour limite 0, alors la suite
(un)n converge vers O. D'après la règle de D'Alembert pour les séries numériques, la série numérique Ln lan z n l converge quelle que soit la valeur de z ;
on a donc R = +oo.
( l 4 ) "
.
1.
. .
3
34
voir a propos1t10n 1.1 p. .