Séries entières
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Exercice 5 .1
1 - En utilisant les propositions 5.2 et 5.3, montrer que les trois séries entières
suivantes ont pour rayon de convergence R = 1 :
n
2 - En utilisant les résultats sur les séries numériques, montrer que la première ne converge en aucun point du cercle de convergence, que la seconde
converge en tout point du cercle de convergence excepté z = 1 et que la
troisième converge en tout point du cercle de convergence.
PROPOSITION 5.4 (Règle de Cauchy pour les séries entières)
Soit L n an z n une série entière de rayon de convergence R telle que la suite
de terme général V'faJ admette une limite f E [O, +oo[ ou tende vers +oo.
On a les propriétés suivantes :
- si f = 0 alors R = +oo ;
- si l E]O, +oo[ alors R = ljf ;
- si f = +oo alors R = O.
Démonstration � Pour tous z E Cet n EN, on a \flan z n l = yta; lzl. Par
conséquent, si la suite de terme général V'faJ admet une limite f E]O, +oo[ alors
la suite (un)n de terme général Un = \flan z n l converge vers f lzl. D'après la
' 1 d c h
1
, .
, .
( l3)
• 1
" t ( )
reg e e auc y pour es senes numenques , s1 a sm e Un n converge vers
une limite k alors la série numérique L n lan z n l converge absolument si k < 1
et diverge si k > 1. On en déduit que :
- si f lzl < 1 (i.e. si lzl < l/f) alors la série L n an z n converge absolument ;
- si f lzl > 1 (i.e. si lzl > ljf) alors elle diverge.
D'après le théorème 5.1, le rayon de convergence de la série entière L n àn z n
est R = ljf.
� Si la suite de terme général V'faJ admet pour limite 0 alors la suite (un)n
de terme général U n = \flan z n l converge vers O. D'après la règle de Cauchy
pour les séries numériques, la série numérique L n lan z n l converge quelle que
soit la valeur de z ; on a donc R = +oo.
� Si la suite de terme général V'faJ tend vers +oo alors la suite (un)n de.
terme général U n = \flan z n l tend également vers +oo pour tout z of. O. D'après
la règle de Cauchy pour les séries numériques, la série numérique L n lan z n l
diverge quel que soit z E C* ; on a donc R =O.
D
<13l Voir la proposition 1.12 p. 30.
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Exercice 5 .1
1 - En utilisant les propositions 5.2 et 5.3, montrer que les trois séries entières
suivantes ont pour rayon de convergence R = 1 :
n
2 - En utilisant les résultats sur les séries numériques, montrer que la première ne converge en aucun point du cercle de convergence, que la seconde
converge en tout point du cercle de convergence excepté z = 1 et que la
troisième converge en tout point du cercle de convergence.
PROPOSITION 5.4 (Règle de Cauchy pour les séries entières)
Soit L n an z n une série entière de rayon de convergence R telle que la suite
de terme général V'faJ admette une limite f E [O, +oo[ ou tende vers +oo.
On a les propriétés suivantes :
- si f = 0 alors R = +oo ;
- si l E]O, +oo[ alors R = ljf ;
- si f = +oo alors R = O.
Démonstration � Pour tous z E Cet n EN, on a \flan z n l = yta; lzl. Par
conséquent, si la suite de terme général V'faJ admet une limite f E]O, +oo[ alors
la suite (un)n de terme général Un = \flan z n l converge vers f lzl. D'après la
' 1 d c h
1
, .
, .
( l3)
• 1
" t ( )
reg e e auc y pour es senes numenques , s1 a sm e Un n converge vers
une limite k alors la série numérique L n lan z n l converge absolument si k < 1
et diverge si k > 1. On en déduit que :
- si f lzl < 1 (i.e. si lzl < l/f) alors la série L n an z n converge absolument ;
- si f lzl > 1 (i.e. si lzl > ljf) alors elle diverge.
D'après le théorème 5.1, le rayon de convergence de la série entière L n àn z n
est R = ljf.
� Si la suite de terme général V'faJ admet pour limite 0 alors la suite (un)n
de terme général U n = \flan z n l converge vers O. D'après la règle de Cauchy
pour les séries numériques, la série numérique L n lan z n l converge quelle que
soit la valeur de z ; on a donc R = +oo.
� Si la suite de terme général V'faJ tend vers +oo alors la suite (un)n de.
terme général U n = \flan z n l tend également vers +oo pour tout z of. O. D'après
la règle de Cauchy pour les séries numériques, la série numérique L n lan z n l
diverge quel que soit z E C* ; on a donc R =O.
D
<13l Voir la proposition 1.12 p. 30.