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Série entière de la variable complexe
Démonstration Nous avons établi en préambule à la proposition que si (an)n
désigne une suite de complexes alors les séries entières I: n an z n et
I: n (n + l )an +l z n ont même rayon de convergence. Nous avons par ailleurs
montré p. 236 que pour toute suite complexe (f3n)n, les séries entières I: n f3n z n
et I: n (3 p+n z n ont même rayon de convergence.
12: En prenant an = an, on établit que les séries entières I: n an z n et
I: n (n + l )an+l z n ont même rayon de convergence R. De plus, en prenant
f3n = nan et p = 1, on établit que les séries entières I: n (n + l )an+l z n et
I: n nan z n ont même rayon de convergence R. Comme pour tout z =/. 0 on a
l(n + l )an z n l rv lnan z n l, la série entière I: n (n + l )an z n admet aussi pour
+=
rayon de convergence R.
12: En posant cette fois-ci an =an, on établit que les séries entières I: n)l kan z n
et I: n an +l z n ont même rayon de convergence. Comme le rayon de convergence
de la série I: n an +l z n est le même que celui de la série I: n an z n (prendre
f3n = an et p = 1), on en déduit que le rayon de convergence de la série
I: n)l k an z n est R. De plus, puisque pour tout z =/. 0 on a 1 � z n / + � / � z n /,
la série entière I: n n � l an z n admet aussi pour rayon de convergence R.
12: Pour p E N fixé et z E C* on a / "'";;P z n / + � / �";; z n /. Comme les séries
entières I: n n � p an +p z n et I: n k an z n ont même rayon de convergence, on en
déduit que la série entière I: n)l k an +p z n a pour rayon de convergence R. D
On déduit également du théorème 5.1 la proposition suivante qui fournit un
autre moyen de déterminer le rayon de convergence d'une série entière.
PROPOSITION 5.3 Soit (an)n une suite de complexes. Si z0 est un complexe
tel que la série numérique I: n anzô est semi-convergente alors le rayon de
convergence de la série entière I: n an z n est R = lzo 1Démonstration La série numérique I: n anzô est semi-convergente donc elle
converge mais ne converge pas absolument. Si elle converge, elle ne diverge
pas donc d'après le théorème 5.1 le complexe zo n'appartient pas à CD(O, R) .
Si elle ne converge pas absolument, d'après ce même théorème, on peut en
déduire que zo n'appartient pas à D(O, R). On en conclut que nécessairement
zo appartient au cercle de convergence C(O, R) . On a donc bien R = lzol- D
Exemple La série numérique I: n)l (·�Jf est une série alternée qui n'est pas
absolument convergente (car la série I: n)l Jn est une série de Riemann divergente) mais qui satisfait au critère spécial pour les séries alternées < 1 2l . C'est
donc une série semi-convergente. On en déduit que le rayon de convergence de
la série entière complexe I: n)l Jn z n est R = 1 (on a pris ici zo = -1).
< 1 2> Voir le théorème 1.3 p. 42.
Série entière de la variable complexe
Démonstration Nous avons établi en préambule à la proposition que si (an)n
désigne une suite de complexes alors les séries entières I: n an z n et
I: n (n + l )an +l z n ont même rayon de convergence. Nous avons par ailleurs
montré p. 236 que pour toute suite complexe (f3n)n, les séries entières I: n f3n z n
et I: n (3 p+n z n ont même rayon de convergence.
12: En prenant an = an, on établit que les séries entières I: n an z n et
I: n (n + l )an+l z n ont même rayon de convergence R. De plus, en prenant
f3n = nan et p = 1, on établit que les séries entières I: n (n + l )an+l z n et
I: n nan z n ont même rayon de convergence R. Comme pour tout z =/. 0 on a
l(n + l )an z n l rv lnan z n l, la série entière I: n (n + l )an z n admet aussi pour
+=
rayon de convergence R.
12: En posant cette fois-ci an =an, on établit que les séries entières I: n)l kan z n
et I: n an +l z n ont même rayon de convergence. Comme le rayon de convergence
de la série I: n an +l z n est le même que celui de la série I: n an z n (prendre
f3n = an et p = 1), on en déduit que le rayon de convergence de la série
I: n)l k an z n est R. De plus, puisque pour tout z =/. 0 on a 1 � z n / + � / � z n /,
la série entière I: n n � l an z n admet aussi pour rayon de convergence R.
12: Pour p E N fixé et z E C* on a / "'";;P z n / + � / �";; z n /. Comme les séries
entières I: n n � p an +p z n et I: n k an z n ont même rayon de convergence, on en
déduit que la série entière I: n)l k an +p z n a pour rayon de convergence R. D
On déduit également du théorème 5.1 la proposition suivante qui fournit un
autre moyen de déterminer le rayon de convergence d'une série entière.
PROPOSITION 5.3 Soit (an)n une suite de complexes. Si z0 est un complexe
tel que la série numérique I: n anzô est semi-convergente alors le rayon de
convergence de la série entière I: n an z n est R = lzo 1Démonstration La série numérique I: n anzô est semi-convergente donc elle
converge mais ne converge pas absolument. Si elle converge, elle ne diverge
pas donc d'après le théorème 5.1 le complexe zo n'appartient pas à CD(O, R) .
Si elle ne converge pas absolument, d'après ce même théorème, on peut en
déduire que zo n'appartient pas à D(O, R). On en conclut que nécessairement
zo appartient au cercle de convergence C(O, R) . On a donc bien R = lzol- D
Exemple La série numérique I: n)l (·�Jf est une série alternée qui n'est pas
absolument convergente (car la série I: n)l Jn est une série de Riemann divergente) mais qui satisfait au critère spécial pour les séries alternées < 1 2l . C'est
donc une série semi-convergente. On en déduit que le rayon de convergence de
la série entière complexe I: n)l Jn z n est R = 1 (on a pris ici zo = -1).
< 1 2> Voir le théorème 1.3 p. 42.