Séries entières
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- Soit zo un complexe n'appartenant pas au disque de convergence de la série
entière L n an z n (i.e. tel que lzo 1 > R). La série numérique L n anzô divergeant,
la série numérique L n lanzôl diverge également. Pour tout n E N tel que
( n + 1) ? 1zo1, on a
l(n + 1) an +l z01 = (n + 1) lan+l z01 ? l an +l zü +1 1 ,
et les critères de comparaison cioJ pour les séries numériques indiquent que la
série L n l(n + l )an+izôl diverge. On en déduit que zo n'appartient pas au
disque de convergence de la série entière L n (n + l )an+l z n et on peut en
conclure que R ' � R.
- Soit maintenant z0 un complexe appartenant au disque de convergence de
L: n an z n (i.e. tel que lzo l < R). Il existe un réel 1J strictement positif tel que
1
(11)
izo l + 1J < R (on peut par exemple prendre 1J = 2(R - lzol)). On a
n+l
(lzo l + 1J) n+l = L C� +1 lzolk1J n+l -k ? 17(n + l )lzo l n .
k =O
On en déduit l'inégalité suivante :
Comme lzo l + 1J < R, la série numérique L n lan+il(lzo l + 17) n+l converge. Les
critères de comparaison pour les séries numériques ( llJ impliquent que la série
numérique L n (n + l )lan+illzol n converge. On en déduit que zo appartient
au disque de convergence de la série entière l: n (n + l )an+l z n et on peut en
conclure que R ' ? R.
Finalement des relations R ' � R et R ' ? R, on déduit que R = R ' .
Nous avons par ailleurs les résultats suivants.
PROPOSITION 5.2 Soit L n an z n une série entière complexe de rayon de
convergence R. Les séries entières
L:: nan z n ,
n
°" 1 n
� - an z ,
n
n;;:,l
1
°" -a Z n
� n+l n
n
et L .!_ an +p z n (où p E N est fixé} ont pour rayon de convergence R.
n;;:,1 n
(10)
•
Voir le théorème 1.2 p. 14.
(ll) Tous les termes de la somme étant positifs, cette somme est supérieure au terme d'indice
k=n.