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Série entière de la variable complexe
Démonstration Puisque lanl ,... ., lbnl, pour tout z E C* on a lanz n l ,... ., lbnz n l.
+oo
+oo
On en déduit <9> que les séries numériques réelles I: n lanz n l et I: n lbnz n l sont
de même nature : elles convergent (resp. divergent) toutes les deux pour les
mêmes valeurs de z. Les séries entières I: n anz n et I: n bnz n convergent donc
absolument sur le même sous-ensemble de C. Le théorème 5.1 indique que
l'ensemble sur lequel une série entière converge absolument est le disque de
convergence de la série, auquel s'ajoutent éventuellement certains points du
cercle de convergence. On a donc R a = R b .
D
Exemples
1. Le rayon de convergence de la série entière I: n � l sin( � ) z n est le même que
celui de la série entière I: n:::, l � z n car sin( l ) ,... ., l .
,,,
n +oo n
2. Le rayon de convergence de la série entière I: n � l n " ::,- 1 z n est le même que
celui de la série entière I: n:::, l
l z n car n n - l - 1
,... .,
n n - l d'où n "-,�- l ,... ., l .
,,, n
+oo
n +oo n
Remarque Plus généralement, on peut, sur le principe de la démonstration
de la proposition 5.1, déduire des résultats de comparaison pour les séries numériques à termes positifs (voir la section 1.2.2 du chap. 1) des résultats pour
les rayons de convergence de séries entières. On montre par exemple que si
L: n anz n et I: n bnz n sont deux séries entières de rayon de convergence respectifs R a et R b telles que à partir d'un certain rang on ait lanl � lbnl alors
R a � R b .
o
Nous allons donner une autre utilisation du théorème 5.1 pour déterminer le
rayon de convergence d'une série entière à travers deux exemples.
Exemples
1. Considérons la série entière I: n � l ,b: z n .
- Si zo est tel que lzol < 1 alors la série numérique I: n � l ,f,:z0 converge absolument puisque i ,b;z0l � ,b: et que la série de Riemann I: n � l ,b: converge. On
a donc nécessairement R � 1.
- Si zo est tel que lzo l > 1 alors limn- +oo ,b: lzol n = +oo et la série numérique
I: n � l ,; 2 z0 diverge grossièrement. On a donc R :(; 1. On en conclut que R = 1.
Cette méthode est souvent utilisée pour déterminer le rayon de convergence
d'une série entière en l'absence d'hypothèse permettant d'avoir recours à d'autres
méthodes calculatoires comme celles qui vont être présentées dans la partie suivante.
2. Utilisons cette méthode pour montrer qu'étant donnée une suite complexes
( an)n, les séries entières I: n an z n et I: n ( n + 1 )an+l z n ont même rayon de
convergence. Désignons par R le rayon de convergence de I: n an z n et par R'
le rayon de convergence de L: n (n+ I)an +l z n ; il s'agit de montrer que R = R' .
<9> Voir le corollaire 1.2 p. 17.
Série entière de la variable complexe
Démonstration Puisque lanl ,... ., lbnl, pour tout z E C* on a lanz n l ,... ., lbnz n l.
+oo
+oo
On en déduit <9> que les séries numériques réelles I: n lanz n l et I: n lbnz n l sont
de même nature : elles convergent (resp. divergent) toutes les deux pour les
mêmes valeurs de z. Les séries entières I: n anz n et I: n bnz n convergent donc
absolument sur le même sous-ensemble de C. Le théorème 5.1 indique que
l'ensemble sur lequel une série entière converge absolument est le disque de
convergence de la série, auquel s'ajoutent éventuellement certains points du
cercle de convergence. On a donc R a = R b .
D
Exemples
1. Le rayon de convergence de la série entière I: n � l sin( � ) z n est le même que
celui de la série entière I: n:::, l � z n car sin( l ) ,... ., l .
,,,
n +oo n
2. Le rayon de convergence de la série entière I: n � l n " ::,- 1 z n est le même que
celui de la série entière I: n:::, l
l z n car n n - l - 1
,... .,
n n - l d'où n "-,�- l ,... ., l .
,,, n
+oo
n +oo n
Remarque Plus généralement, on peut, sur le principe de la démonstration
de la proposition 5.1, déduire des résultats de comparaison pour les séries numériques à termes positifs (voir la section 1.2.2 du chap. 1) des résultats pour
les rayons de convergence de séries entières. On montre par exemple que si
L: n anz n et I: n bnz n sont deux séries entières de rayon de convergence respectifs R a et R b telles que à partir d'un certain rang on ait lanl � lbnl alors
R a � R b .
o
Nous allons donner une autre utilisation du théorème 5.1 pour déterminer le
rayon de convergence d'une série entière à travers deux exemples.
Exemples
1. Considérons la série entière I: n � l ,b: z n .
- Si zo est tel que lzol < 1 alors la série numérique I: n � l ,f,:z0 converge absolument puisque i ,b;z0l � ,b: et que la série de Riemann I: n � l ,b: converge. On
a donc nécessairement R � 1.
- Si zo est tel que lzo l > 1 alors limn- +oo ,b: lzol n = +oo et la série numérique
I: n � l ,; 2 z0 diverge grossièrement. On a donc R :(; 1. On en conclut que R = 1.
Cette méthode est souvent utilisée pour déterminer le rayon de convergence
d'une série entière en l'absence d'hypothèse permettant d'avoir recours à d'autres
méthodes calculatoires comme celles qui vont être présentées dans la partie suivante.
2. Utilisons cette méthode pour montrer qu'étant donnée une suite complexes
( an)n, les séries entières I: n an z n et I: n ( n + 1 )an+l z n ont même rayon de
convergence. Désignons par R le rayon de convergence de I: n an z n et par R'
le rayon de convergence de L: n (n+ I)an +l z n ; il s'agit de montrer que R = R' .
<9> Voir le corollaire 1.2 p. 17.