Séries entiêres
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De cette relation, on peut déduire que si la suite (Sn(z))nEl\I converge vers S(z)
alors la suite (Tn(z))nEl\I converge vers z 1 v (S(z) - Bp - 1 (z)). On peut en déduire
aussi que si la suite (Tn(z))nEl\I converge vers T(z) alors la suite (Sn(z))nEl\I
converge vers zP T(z) + S p_1 (z). On en conclut que la suite (Tn(z))n converge
si et seulement si la suite (Sn(z))n converge. Les séries entières L n an z n et
En ap +n z n ont donc même ensemble de convergence, ce qui implique en particulier qu'elles ont même rayon de convergence.
DÉFINITION 5.4 (Disque de convergence)
Soit L n an z n une série entière complexe de rayon de convergence R.
- L'ensemble D(O, R) = { z E C ; lzl < R} est appelé disque de convergence
de la série entière.
- L'ensemble C(O, R) = { z E C ; lzl = R} est appelé cercle de convergence
de la série entière.
D'après le théorème 5.1, une sene entière de rayon de convergence R
converge sur son disque de convergence D(O, R) et diverge grossièrement
sur CD(O, R) le complémentaire de l'adhérence du disque de convergence.
On ne peut rien dire de général sur la nature d'une série entière sur le
cercle de convergence C(O, R). Elle peut selon les cas converger, diverger
(grossièrement ou non) , ou encore converger en certains points du cercle de
convergence et diverger en d'autres.
Considérons à titre d'exemple la série entière L n;;,l n - °' z n (où a désigne un
réel) dont le rayon de convergence est égal à 1 (cette affirmation sera établie au
cours de l'exercice 5.2) . Selon les valeurs de a on a les comportements suivants
sur le cercle de convergence C(O, 1) :
- si a E] - oo, O] , la série diverge en tout point du cercle de convergence ;
- si a E]O, 1], elle converge en tout point du cercle de convergence sauf en
z = 1;
- si a E]l , +oo[, elle converge en tout point du cercle de convergence.
On pourra également considérer l'exercice 5.1 pour un autre exemple illustrant
cette mise en garde.
5.1.3 Détermination du rayon de convergence
Le théorème 5.1 permet d'obtenir plusieurs moyens de déterminer le rayon de
convergence d'une série entière. Commençons par un résultat très utile dans la
pratique.
PROPOSITION 5.1 Soient L n anz n et L n bnz n deux séries entières de rayon
de convergence respectifs Ra et Rb . Si lanl
rv
lbnl alors Ra = Rb ·
+oo
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De cette relation, on peut déduire que si la suite (Sn(z))nEl\I converge vers S(z)
alors la suite (Tn(z))nEl\I converge vers z 1 v (S(z) - Bp - 1 (z)). On peut en déduire
aussi que si la suite (Tn(z))nEl\I converge vers T(z) alors la suite (Sn(z))nEl\I
converge vers zP T(z) + S p_1 (z). On en conclut que la suite (Tn(z))n converge
si et seulement si la suite (Sn(z))n converge. Les séries entières L n an z n et
En ap +n z n ont donc même ensemble de convergence, ce qui implique en particulier qu'elles ont même rayon de convergence.
DÉFINITION 5.4 (Disque de convergence)
Soit L n an z n une série entière complexe de rayon de convergence R.
- L'ensemble D(O, R) = { z E C ; lzl < R} est appelé disque de convergence
de la série entière.
- L'ensemble C(O, R) = { z E C ; lzl = R} est appelé cercle de convergence
de la série entière.
D'après le théorème 5.1, une sene entière de rayon de convergence R
converge sur son disque de convergence D(O, R) et diverge grossièrement
sur CD(O, R) le complémentaire de l'adhérence du disque de convergence.
On ne peut rien dire de général sur la nature d'une série entière sur le
cercle de convergence C(O, R). Elle peut selon les cas converger, diverger
(grossièrement ou non) , ou encore converger en certains points du cercle de
convergence et diverger en d'autres.
Considérons à titre d'exemple la série entière L n;;,l n - °' z n (où a désigne un
réel) dont le rayon de convergence est égal à 1 (cette affirmation sera établie au
cours de l'exercice 5.2) . Selon les valeurs de a on a les comportements suivants
sur le cercle de convergence C(O, 1) :
- si a E] - oo, O] , la série diverge en tout point du cercle de convergence ;
- si a E]O, 1], elle converge en tout point du cercle de convergence sauf en
z = 1;
- si a E]l , +oo[, elle converge en tout point du cercle de convergence.
On pourra également considérer l'exercice 5.1 pour un autre exemple illustrant
cette mise en garde.
5.1.3 Détermination du rayon de convergence
Le théorème 5.1 permet d'obtenir plusieurs moyens de déterminer le rayon de
convergence d'une série entière. Commençons par un résultat très utile dans la
pratique.
PROPOSITION 5.1 Soient L n anz n et L n bnz n deux séries entières de rayon
de convergence respectifs Ra et Rb . Si lanl
rv
lbnl alors Ra = Rb ·
+oo