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Série entière de la variable complexe
Nature indéterminée
�- -
I
1
/
/"
I
R
0
1
Convergenc absolue
\
----Divergence grossière
/
\
\
/
\
\
1
Fig. 1 Disque de convergence et nature d'une série entière
complexe.
Remarques
1. On peut préciser le comportement d'une série entière de rayon de convergence R à l'extérieur du disque D(O, R). Considérons un complexe zo dans
C D(O, R) ; la série numérique L n an z0 diverge. D'après le lemme d'Abel, la
suite (an zô)n n'est pas bornée. Cette suite ne converge donc pas vers 0; cela
signifie que la série numérique L n anzô diverge grossièrement. On en conclut
qu'une série entière diverge grossièrement dans C D(O, R).
2. Le rayon de convergence d'une série entière L n an z n vérifie
R = sup {r E �; L n anr n converge } .
3. Soient (an)n et (an)n deux suites de complexes dont tous les termes sont non
nuls à partir d'un certain rang et telles que lanl ,... ., lanl· Les deux séries entières
+oo
L n an z n et L n anz n ont même rayon de convergence car pour tous z E a lan z n l ,... ., lan z n l, ce qui d'après les critères de comparaison pour les séries
+oo
numériques, voir le corollaire 1.2 p. 17, indique que les séries L n lan z n 1 et
L n lan z n l sont de même nature.
o
Exemple Soit L n an z n une série entière complexe de rayon de convergence R.
Montrons que pour tout p E N fixé, les séries entières L n an z n et L n ap +n z n
ont même rayon de convergence. Désignons par (Sn)net (Tn)n la suite des
sommes partielles associée aux séries entières L n an z n et L n ap +n z n . Pour
tous z E n
n
n�
,.,. .. ( ) - L k - 1 L p+k - 1 L a k z k
-Ln z - ap +k z - - ap +k Z - -
zP
zP
k=O
k=O
k=p
1
= - (Sn+p(z) - S p - 1 (z)) .
zP