Séries entières
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THÉORÈME 5.1 Soit L n an z n une série entière complexe de rayon de conver
gence R.
- Si R = 0 alors la série L n an z n diverge pour tout z E C*.
- Si R E]O, +oo[ alors la série Ln an z n converge absolument pour tout complexe z tel que lzl < R et diverge pour tout complexe z tel que lzl > R.
- Si R = +oo alors la série L n an z n converge absolument pour tout z E C.
Démonstration � Supposons R > 0 et montrons que si z 1 est un complexe
tel que lz1 1 < R alors la série L n anzi converge absolument.
- Établissons tout d'abord l'existence d'un élément r0 dans E tel que
jz 1 1 < ro :::; ; R. Si z1 = 0, le résultat est évident : ro = R convient. Pour z1 f. 0,
on peut appliquer la relation ( 1) avec c = R - 1z1 1 : il existe un élément r0 dans
E tel que ro > R - c = lz1 1 et ro :::; ; R.
- La suite numérique de terme général anro est bornée (car ro E E) donc
d'après le lemme d'Abel, la série entière L n an z n est absolument convergente
sur D(O, ro). Elle converge en particulier en z1 . On en conclut que si RE IR+
alors pour tout z 1 E C tel que lz1 1 < R la série L n anzf est absolument
convergente.
� Supposons R E JR + et montrons que si z1 est un complexe tel que jz 1 1 > R
alors la série L n anzf diverge. Si la série L n anzf convergeait absolument,
la suite de terme général anzf tendrait vers 0 et donc serait bornée < 7 l ; cela
impliquerait que lz1 1 appartient à E. On a une contradiction car jz1 1 > R où R
désigne la borne supérieure de E. On en conclut que si RE JR + alors pour tout
Z 1 E c tel que lz1 1 > R, la série L n anZÎ diverge.
� Supposons que R = +oo et montrons que pour tout complexe z 1 la série
numérique L n anzf converge absolument. Puisque R = +oo, l'ensemble E
n'est pas majoré, donc < s > pour tout réel A1, il existe un élément r0 dans E
(autrement dit un réel positif r0 tel que la suite (anro)n soit bornée) vérifiant
ro >M. En prenant M = lz1I, on en déduit qu'il existe ro E JR + tel que ro > lz1I
et tel que la suite (anro)n soit bornée. Ainsi z 1 appartient au disque ouvert
D(O, ro) et d'après le lemme d'Abel, la série L n anzf converge absolument
sur D(O, ro). On en conclut que si R = +oo alors pour tout z 1 E C, la série
L n anzf est absolument convergente.
� Pour conclure la démonstration du théorème, il suffit de remarquer qu'en
z = 0 une série entière converge et a pour somme ao.
D
( 7 ) " • 1
. .
d c
d
.
é
von· a propos1t1on 5.5 p. 173 u ours e première ann e.
(S) Par définition, l'ensemble E est majoré si : 3M E lR Ve E E e :(M . On en déduit que
l'ensemble E n'est pas majoré si : VM E lR 3e E E e >M .
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THÉORÈME 5.1 Soit L n an z n une série entière complexe de rayon de conver
gence R.
- Si R = 0 alors la série L n an z n diverge pour tout z E C*.
- Si R E]O, +oo[ alors la série Ln an z n converge absolument pour tout complexe z tel que lzl < R et diverge pour tout complexe z tel que lzl > R.
- Si R = +oo alors la série L n an z n converge absolument pour tout z E C.
Démonstration � Supposons R > 0 et montrons que si z 1 est un complexe
tel que lz1 1 < R alors la série L n anzi converge absolument.
- Établissons tout d'abord l'existence d'un élément r0 dans E tel que
jz 1 1 < ro :::; ; R. Si z1 = 0, le résultat est évident : ro = R convient. Pour z1 f. 0,
on peut appliquer la relation ( 1) avec c = R - 1z1 1 : il existe un élément r0 dans
E tel que ro > R - c = lz1 1 et ro :::; ; R.
- La suite numérique de terme général anro est bornée (car ro E E) donc
d'après le lemme d'Abel, la série entière L n an z n est absolument convergente
sur D(O, ro). Elle converge en particulier en z1 . On en conclut que si RE IR+
alors pour tout z 1 E C tel que lz1 1 < R la série L n anzf est absolument
convergente.
� Supposons R E JR + et montrons que si z1 est un complexe tel que jz 1 1 > R
alors la série L n anzf diverge. Si la série L n anzf convergeait absolument,
la suite de terme général anzf tendrait vers 0 et donc serait bornée < 7 l ; cela
impliquerait que lz1 1 appartient à E. On a une contradiction car jz1 1 > R où R
désigne la borne supérieure de E. On en conclut que si RE JR + alors pour tout
Z 1 E c tel que lz1 1 > R, la série L n anZÎ diverge.
� Supposons que R = +oo et montrons que pour tout complexe z 1 la série
numérique L n anzf converge absolument. Puisque R = +oo, l'ensemble E
n'est pas majoré, donc < s > pour tout réel A1, il existe un élément r0 dans E
(autrement dit un réel positif r0 tel que la suite (anro)n soit bornée) vérifiant
ro >M. En prenant M = lz1I, on en déduit qu'il existe ro E JR + tel que ro > lz1I
et tel que la suite (anro)n soit bornée. Ainsi z 1 appartient au disque ouvert
D(O, ro) et d'après le lemme d'Abel, la série L n anzf converge absolument
sur D(O, ro). On en conclut que si R = +oo alors pour tout z 1 E C, la série
L n anzf est absolument convergente.
� Pour conclure la démonstration du théorème, il suffit de remarquer qu'en
z = 0 une série entière converge et a pour somme ao.
D
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é
von· a propos1t1on 5.5 p. 173 u ours e première ann e.
(S) Par définition, l'ensemble E est majoré si : 3M E lR Ve E E e :(M . On en déduit que
l'ensemble E n'est pas majoré si : VM E lR 3e E E e >M .