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Série entière de la variable complexe
Démonstration La convergence de la série numérique L n an z0 implique que
la suite de terme général an z0 admet pour limite 0 en +oo, voir la proposition 1.2 p. 11. Or, toute suite numérique convergente est bornée (4) . La suite de
terme général an z0 est donc bornée et on conclut en utilisant le lemme d'Abel
que la série entière L n an z n converge absolument sur D(O, lzo l).
D
Étant donné une suite (an)n de complexes, on désigne par E l'ensemble des
réels positifs r tels que la suite numérique de terme général anr n est bornée.
Cet ensemble est non vide car 0 est élément de E. De plus,
- ou bien l'ensemble E est majoré et dans ce cas il admet une borne supérieure dans lR. ;
- ou bien l'ensemble E n'est pas majoré et dans ce cas il n'admet pas de borne
supérieure dans R
DÉFINITION 5.3 {Rayon de convergence)
Soit (an)n une suite de complexes et E l'ensemble des réels positifs r tels que
la suite numérique (anr n )nEN soit bornée.
- Si E est majoré alors on appelle rayon de convergence de la série entière
L n an z n la borne supérieure de l'ensemble E.
- Si l'ensemble E n'est pas majoré alors on convient que le rayon de convergence de la série entière L n an z n est ég al à +oo.
Remarques
1. De la définition 5.3, il résulte que le rayon de convergence d'une série entière
est soit un réel positif, soit +oo. On dit parfois que R est la borne supérieure
(6) -
dans lR. de l'ensemble E, englobant ainsi dans un même énoncé les deux
possibilités.
R
sup{r E lR.; (anr n )nEN est bornée }
= sup{r E lR. ; 3M E JR. + 'r:/ n EN lanr n l � M}.
2. Si E est majoré, dire que R est la borne supérieure de l'ensemble E signifie
que :
('r:/ r E E r � R) et ('r:/ E: E IR.� 3ro E E ro > R - é) .
(1)
0
La nature d'une série entière est déterminée par la valeur du rayon de convergence comme l'indique le théorème suivant illustré figure 1.
<4> Voir la proposition 5.5 p. 173 du Cours de première année.
( s ) Voir la proposition 3.2 p. 95 du Cours de première année.
(G) On rappelle, voir la section 3.3.4 p. 112 du Cours de première an née, que R est l'ensemble lR auquel on adjoint les deux éléments +oo et -oo et que cet ensemble est appelé
« droite numérique achevée ».