Séries entières
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DÉFINITION 5.2 (Convergence simple et convergence absolue)
X On dit que la série entière L n an z n converge simplement sur un sousensemble Z de
somme de la série entière.
X On dit que la série entière L n an z n converge absolument sur Z si pour
tout z E Z la série numérique de terme général Un = lan z n l converge.
Remarques
1. Il résulte des propriétés des séries numériques que si une série entière converge
absolument sur un sous-ensemble Z de
z = 0 et a pour somme ao.
o
Le résultat suivant, connu sous le nom de lemme d'Abel, est l'outil avec lequel
nous allons mener l'étude des séries entières.
LEMME 5.1 (Lemme d'Abel)
Soient (an)n une suite de complexes et zo un complexe non nul. Si la suite numérique (un)n de terme général Un= anzo est bornée <3> alors la série entière
L n an z n converge absolument sur le disque ouvert D(O, lzol).
Démonstration Supposons que la suite (un)n de terme général Un = anzo
soit bornée, i.e. supposons que :
On a alors pour tout z E
Pour tout complexe z tel que lzl < lzol (i.e. pour z E D(O, lzol)), la série
numérique de terme général Vn = M lz/ zol n est une série géométrique de raison
lz/zol < 1; elle est donc convergente. Les critères de comparaison pour les séries
numériques à termes positifs (voir le théorème 1.2 p. 14) indiquent que la série
numérique L n lan z n l converge. On en conclut que la série entière L n an z n
converge absolument sur D(O, lzol).
0
COROLLAIRE 5.1 Soient (an)n une suite de complexes et zo un complexe non
nul. Si la série numérique L n an z0 converge alors la série entière L n an z n
converge absolument sur D(O, lzol).
<3> Voir la définition 5.3 p. 172 du Cours de première année.
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DÉFINITION 5.2 (Convergence simple et convergence absolue)
X On dit que la série entière L n an z n converge simplement sur un sousensemble Z de
somme de la série entière.
X On dit que la série entière L n an z n converge absolument sur Z si pour
tout z E Z la série numérique de terme général Un = lan z n l converge.
Remarques
1. Il résulte des propriétés des séries numériques que si une série entière converge
absolument sur un sous-ensemble Z de
z = 0 et a pour somme ao.
o
Le résultat suivant, connu sous le nom de lemme d'Abel, est l'outil avec lequel
nous allons mener l'étude des séries entières.
LEMME 5.1 (Lemme d'Abel)
Soient (an)n une suite de complexes et zo un complexe non nul. Si la suite numérique (un)n de terme général Un= anzo est bornée <3> alors la série entière
L n an z n converge absolument sur le disque ouvert D(O, lzol).
Démonstration Supposons que la suite (un)n de terme général Un = anzo
soit bornée, i.e. supposons que :
On a alors pour tout z E
Pour tout complexe z tel que lzl < lzol (i.e. pour z E D(O, lzol)), la série
numérique de terme général Vn = M lz/ zol n est une série géométrique de raison
lz/zol < 1; elle est donc convergente. Les critères de comparaison pour les séries
numériques à termes positifs (voir le théorème 1.2 p. 14) indiquent que la série
numérique L n lan z n l converge. On en conclut que la série entière L n an z n
converge absolument sur D(O, lzol).
0
COROLLAIRE 5.1 Soient (an)n une suite de complexes et zo un complexe non
nul. Si la série numérique L n an z0 converge alors la série entière L n an z n
converge absolument sur D(O, lzol).
<3> Voir la définition 5.3 p. 172 du Cours de première année.