Fonctions complexes de la variable complexe
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(on a utilisé la relation 1 = cos(x) 2 + sin(x) 2 et factorisé). On en déduit que
1 i - sin 2 (z )1 2 = ( cos(x ) 2 ch(y) 2 - sin(x ) 2 sh(y) 2 ) 2 + (2 sin(x) ch(y) sh(y) cos(x) ) 2
= (cos(x) 2 ch(y) 2 + sh(y) 2 sin(x) 2 ) 2 •
On a également établi que 1 sin(z)l 2 = sin(x) 2 ch(y) 2 + sh(y) 2 cos(x) 2 ce qui
permet d'obtenir
1 cos(z)l 2 +1 sin(z)l 2 = cos(x) 2 ch(y) 2 + sh(y) 2 sin(x) 2
+ sin(x) 2 ch(y) 2 + sh(y) 2 cos(x) 2
= ch(y) 2 + sh(y) 2 = ch(2y).
Comme la fonction cosinus hyperbolique réelle est minorée par 1, on en déduit
que pour tout z E Con a 1cos(z)l 2 +1 sin(z)l 2 � 1.
La relation précédente nous indique que 1 cos( z )1 2 + 1 sin( z) 1 2 = 1 si et seulement
si ch(2y) = 1 c'est-à-dire si y = O. L'égalité a donc lieu uniquement si z est
réel.
2 - a) Montrons que la série de fonctions L n ,&: sin (z/n 2 ) converge absolument
dans C. Pour tout complexe z de partie réelle x et de partie imaginaire y, on a
compte tenu de ce qui a été établi à la question précédente :
1 � 2 sin ( : 2 ) 1 � � 2 ch ( : 2 ) .
Comme lim n -+ +oo ch (y/n 2 ) = 1 on en déduit que � ch (
Y
2 ) "' �- Comme
n
n n -+ +oo n
la série L n ,&: converge, on peut affirmer que la série L n ,&: sin ( �) converge
absolument.
b) La série L n f n ne convergera pas normalement sur C si la série numérique de terme général sup zEC lf n (z)I converge. On a
sup lf n (z)I = sup I� sin (
z
2 ) 1 = � sup lsin (()I .
zEC
zEC n
n
n (EC
Comme la fonction sinus n'est pas bornée dans C, la série L n f n ne converge
pas normalement sur C.
Considérons à présent la convergence normale sur la boule D(O, R), R E IR+.
On a
sup 1 � sin (
z
2 ) 1 = � sup jsin ( () 1 � � sup ch(y).
zED(O,R) n
n
n zED(O, � )
n yE] - �.�[
Comme la fonction cosinus hyperbolique réelle est paire et strictement croissante sur JR + , on a
sup lf n (z)I = � ch ( �).
zED(O,R)
n
n