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Solutions des exercices
b) Comme cos(x) 2 ;::: 0, on en déduit que 1 sin(z)l 2 � ch(y) 2 et comme
sin(x) 2 ;::: 0, on en déduit que 1 sin(z)l 2 ;::: sh(y) 2 . On en conclut que pour tout
z E Con a 1 sh(y)I � 1 sin(z)I � 1 ch(y)I et comme la fonction ch est positive,
on a 1 ch(y)I = ch(y).
c) Pour montrer que la fonction sinus complexe n'est pas bornée sur C, il
( 36 )
faut montrer que
VM E IR'+ 3z E C 1 sin(z)I >M.
(15)
Soit M un réel strictement positif fixé et z le complexe 2i argsh( M). On a
jsin(z)I ;::: jsh(Im(z))I = l sh(2 argsh(M))j. Comme M est strictement positif,
argsh(M) est lui aussi strictement positif et 2 argsh(M) > argsh(M). Comme
la fonction sinus hyperbolique est strictement croissante et à valeurs positives
sur IR'f-, on en déduit que :
1 sh(2 argsh(M))I = sh(2 argsh(M)) > sh(argsh(M)) =M.
L'assertion est établie pour tout M E IR'f_. Si M = 0, le complexe z = � vérifie
1 sin(z)I = 1 > 0 =M. On peut donc en conclure que la fonction sinus complexe
n'est pas bornée sur C. Comme pour tout z E Con a cos(z) 2 = 1-sin(z) 2 , on
en déduit en utilisant la seconde inégalité triangulaire que
1 cos(z)l 2 = 1 cos(z) 2 1 = I l - sin(z) 2 1 ? I l - 1 sin(z)i 2 1.
Soit M' E IR'f- ; d'après l'assertion (15) considérée avec le réel M = ViVfi + 1,
on peut trouver un complexe ZlvJ tel que 1 sin(zM )1 > v'M' + 1. On a alors
jcos(zM) l 2 ;::: I l - l sin(zM) l 2 1 > M'. On en conclut que la fonction cosinus
complexe n'est pas bornée elle non plus sur C.
Même si une partie des propriétés connues des fonctions circulaires réelles
restent valables pour les fonctions circulaires complexes (par exemple les
identités trigonométriques), on sera vigilant au fait que les fonctions circulaires complexes ne possèdent pas toutes les propriétés des fonctions circulaires réelles. Ainsi comme on vient de le voir, alors que les fonctions circulaires réelles sont bornées, les fonctions circulaires complexes ne le sont pas. ·
d) Pour tout z E C, on a
1cos(z)1 2 + 1 sin(z )1 2 = 1 cos(z ) 2 1 + 1sin(z)1 2 = 11 - sin 2 (z)I + 1 sin(z)l 2 .
Or sin(z) = sin(x) ch(y) + i sh(y) cos(x) donc
1-sin 2 (z) = (1-sin(x) 2 ch(y) 2 +sh(y) 2 cos(x) 2 ) + 2isin(x) ch(y) sh(y) cos(x)
= ( cos(x ) 2 ch(y) 2 - sin(x ) 2 sh(y) 2 ) + 2i sin(x) ch(y) sh(y) cos(x)
<36> Cette assertion quantifiée est la négation de l'assertion quantifiée exprimant que la fonction sinus complexe est bornée sur IC : 3M E lR+ Vz E IC 1 sin(z)I �M.
Solutions des exercices
b) Comme cos(x) 2 ;::: 0, on en déduit que 1 sin(z)l 2 � ch(y) 2 et comme
sin(x) 2 ;::: 0, on en déduit que 1 sin(z)l 2 ;::: sh(y) 2 . On en conclut que pour tout
z E Con a 1 sh(y)I � 1 sin(z)I � 1 ch(y)I et comme la fonction ch est positive,
on a 1 ch(y)I = ch(y).
c) Pour montrer que la fonction sinus complexe n'est pas bornée sur C, il
( 36 )
faut montrer que
VM E IR'+ 3z E C 1 sin(z)I >M.
(15)
Soit M un réel strictement positif fixé et z le complexe 2i argsh( M). On a
jsin(z)I ;::: jsh(Im(z))I = l sh(2 argsh(M))j. Comme M est strictement positif,
argsh(M) est lui aussi strictement positif et 2 argsh(M) > argsh(M). Comme
la fonction sinus hyperbolique est strictement croissante et à valeurs positives
sur IR'f-, on en déduit que :
1 sh(2 argsh(M))I = sh(2 argsh(M)) > sh(argsh(M)) =M.
L'assertion est établie pour tout M E IR'f_. Si M = 0, le complexe z = � vérifie
1 sin(z)I = 1 > 0 =M. On peut donc en conclure que la fonction sinus complexe
n'est pas bornée sur C. Comme pour tout z E Con a cos(z) 2 = 1-sin(z) 2 , on
en déduit en utilisant la seconde inégalité triangulaire que
1 cos(z)l 2 = 1 cos(z) 2 1 = I l - sin(z) 2 1 ? I l - 1 sin(z)i 2 1.
Soit M' E IR'f- ; d'après l'assertion (15) considérée avec le réel M = ViVfi + 1,
on peut trouver un complexe ZlvJ tel que 1 sin(zM )1 > v'M' + 1. On a alors
jcos(zM) l 2 ;::: I l - l sin(zM) l 2 1 > M'. On en conclut que la fonction cosinus
complexe n'est pas bornée elle non plus sur C.
Même si une partie des propriétés connues des fonctions circulaires réelles
restent valables pour les fonctions circulaires complexes (par exemple les
identités trigonométriques), on sera vigilant au fait que les fonctions circulaires complexes ne possèdent pas toutes les propriétés des fonctions circulaires réelles. Ainsi comme on vient de le voir, alors que les fonctions circulaires réelles sont bornées, les fonctions circulaires complexes ne le sont pas. ·
d) Pour tout z E C, on a
1cos(z)1 2 + 1 sin(z )1 2 = 1 cos(z ) 2 1 + 1sin(z)1 2 = 11 - sin 2 (z)I + 1 sin(z)l 2 .
Or sin(z) = sin(x) ch(y) + i sh(y) cos(x) donc
1-sin 2 (z) = (1-sin(x) 2 ch(y) 2 +sh(y) 2 cos(x) 2 ) + 2isin(x) ch(y) sh(y) cos(x)
= ( cos(x ) 2 ch(y) 2 - sin(x ) 2 sh(y) 2 ) + 2i sin(x) ch(y) sh(y) cos(x)
<36> Cette assertion quantifiée est la négation de l'assertion quantifiée exprimant que la fonction sinus complexe est bornée sur IC : 3M E lR+ Vz E IC 1 sin(z)I �M.