t E] - 1, O[U]O, 1[ on obtient
h( sh( mt)
Or sin(i7rt) = -ish(i 2 rrt) = ish(rrt) est un imaginaire pour donc h( On en déduit que lim i-o h( tER
de limite en O.
c) Considérons l'arc paramétré

réels. On a f ( 3
sh(t)
t
t
Comme limi-o s i �
( t ) = lim i-o shit ) = 1, on en déduit que lim1-o h( tER
tER
tER
et par conséquent que si f3 a une limite en 0 ce ne peut être que 1.
Considérons à présent l'arc paramétré pour t E] - 1, , 1[ on obtient
sin(t + it)
h( Or sh(t + it) = sh(t) ch(it) + ch(t) sh(it) = sh(t) cos(t) + i sin( t) ch(t)
et sin(t + it) = sin(t) cos(it) + cos(t) sin(it) = sin(t) ch(t) + i cos(t) sh(t) donc
h( sin(t) ch(t) + i.
sh(t) cos(t)
On en déduit que limt-o h( tEl'<
pas de limite en O.
SOLUTION DE L'EXERCICE 4.10
1 - a) Soit z un complexe de partie réelle x et de partie imaginaire y. On a
sin(z) = sin(x + iy) = sin(x) cos(iy) + sin(iy) cos(x).
Or cos(iy) = � (exp(i 2 y) + exp(-i 2 y)) = � (exp(-y) + exp(y)) = ch(y) et
sin(iy) = ish(y) donc sin(z) = sin(x) ch(y) + ish(y) cos(x). On en déduit que :
lsin(z)l 2 = sin(x) 2 ch(y) 2 +sh(y) 2 cos(x) 2 = ch(y) 2 -cos(x) 2 = sin(x) 2 +sh(y) 2 ,
les deux dernières égalités étant obtenues grâce aux relations ch(y ) 2 -sh(y ) 2 = 1
et sin(x) 2 + cos(x) 2 = 1.