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Solutions des exercices
On en déduit que l'on a cos(z) = i si et seulement si cos(x) ch(y) = 0 et
sin(x) sh(y) = -L Intéressons-nous à la première des deux conditions ; on a
cos(x) ch(y) = 0 si et seulement si x = � + br, k E Z car la fonction cosinus
hyperbolique réelle est minorée par 1. Pour x = � + br avec k E Z, la sec<;>nde
relation devient (- l )l k l sh(y) = - 1. Si l'entier naturel lkl est impair, on obtient
y= argsh(l) et si lkl est pair, on obtient y= argsh(-1). Comme la fonction
argsh est impaire, on a argsh(-1) = - argsh(l) et on peut regrouper les deux
cas en exprimant la solution y sous la forme y = (- l )l k l +I argsh(l). Finalement, on en conclut que les solutions dans complexes z = � + br - i(- l )l k l argsh(l) avec k E Z.
SOLUTION DE L'EXERCICE 4.9
1 - a) fi et f2 sont définies en tout z E l'exercice 4.8 que sh(z) = 0 si et seulement si z = ibr avec k E Z. Les fonctions
fi et f2 sont donc définies sur b) f3 est définie en tout z E de partie réelle x et de partie imaginaire y. On a d'après le formulaire de
trigonométrie hyperbolique complexe :
sh(z) = sh(x + iy) = sh(x) ch(iy) + ch(x) sh(iy).
Comme ch(iy) = cos(i 2 y) = cos(y) et sh(iy) = -isin(i 2 y) = isin(y), on a
sh(z) = sh(x) cos(y) + isin(y) ch(x). On a par conséquent R e (sh(z)) = 0 si et
seulement si sh(x) cos(y) = 0, c'est à dire si x = 0 ou si y = � + kn, k E Z.
L'ensemble de définition de h est donc E = {z E 2 - a) Considérons l'arc paramétré : t E lR. 1-+ t E des réels. On a c/>(O) = 0 et pour t E JR.*, on obtient
f (c/>(t)) = sin(t) = sin(t) ( sh(t) ) - l
1
sh(t)
t
t
Comme lim•-o
sin?) = lim •-o
sh ? ) = 1, on en déduit que lim•-o fi (c/>(t)) = 1
tER.
tER
tea
et par conséquent que si fi a une limite en 0 ce ne peut être que 1. Considérons à présent l'arc paramétré : t E] - 1, 1[1-+ i?rt. On a c/>(O) = 0 et pour
t E] - 1, O[U]O, 1[ on obtient
fi(c/>(t)) = sin(R�(i7rt)) =O.
sh(!7rt)
On en déduit que limho fi (c/>(t)) = 0 ce qui permet de conclure que fi n'a pas
tER
de limite en O.
b) Considérons l'arc paramétré : t E lR. 1-+ t E des réels. On a c/>(O) = 0 et pour t E JR.* on obtient
f (c/>(t)) = sin(t) = sin(t) ( sh
t
(t) ) - 1
2
sh(t)
t