Fonctions complexes de la variable complexe
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De plus, comme 1 exp(z)I et en e ( z ) sont deux réels positifs, la relation
l exp(z)l 2 = (en e ( z l ) 2 est équivalente à 1 exp(z)I = en e ( z ) .
.
2 - . La relation précédente indique que 1 exp(z)I = 1 si et seulement si
en e( z ) = 1. D'après les propriétés de la fonction exponentielle réelle, ceci équivaut à 'R e (z) = 0, autrement dit à ce que z soit un imaginaire pur.
SOLUTION DE L'EXERCICE 4.8
1 - D'après la définition de la fonction sinus complexe, pour tout z E C on a
sin(z) = 0 si et seulement si exp(-iz) = exp(iz). Désignons par x la partie réelle
de z et par y sa partie imaginaire. On a exp(-iz) = exp(iz) si et seulement si
eY cos(x) - ieY sin(x) = e - Y cos(x) + ie - Y sin(x).
(13)
Deux complexes égaux ayant même module, on déduit de la relation (13) que
eY = e-Y. Ceci implique que e 2 Y = 1 donc que y = O. De la relation (13)
on déduit alors en identifiant les parties imaginaires que sin(x) = sin(x) (on a
toujours égalité des parties réelles). On a donc 2 sin( x) = 0 et par conséquent les
réels x solutions sont tous les réels de la forme x = k7r avec k E Z. Finalement
l'ensemble des solutions de l'équation sin(z) = 0 est S = {br ; k E Z}.
2 - Effectuons un raisonnement analogue pour déterminer l'ensemble des solutions dans C de l'équation sh(z) = O. D'après la définition de la fonction
sinus hyperbolique complexe, pour tout z E C on a sh(z) = 0 si et seulement
si exp(z) = exp(-z). Désignons par x la partie réelle de z et par y sa partie
imaginaire. On a exp(z) = exp(-z) si et seulement si
e"' cos(y) + ie"' sin(y) = e -x cos(y) - ie -x sin(y).
(14)
Deux complexes égaux ayant même module, on déduit de la relation (14) que
e"' = e-x ce qui implique que x = O. De la relation (14) on déduit alors en
identifiant les parties réelles que sin(y) = - sin(y) autrement dit que sin(y) =O.
Par conséquent on a y= k7r avec k E Z. L'ensemble des solutions de l'équation
sh(z) = 0 est donc S = {ik?r ; k E Z}.
3 - D'après la définition de la fonction cosinus complexe, pour tout z E Con a
cos(z) = i si et seulement si exp(iz) + exp(-iz) = 2i. Désignons par x la partie
réelle de z et par y sa partie imaginaire. On a
exp(iz) + exp(-iz)
e - Y(cos(x) + isin(x)) + eY (cos(x) - isin(x))
= cos(x)(e - Y + eY) + isin(x)(e - Y - eY)
= 2cos(x) ch(y) - 2isin(x) sh(y).
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De plus, comme 1 exp(z)I et en e ( z ) sont deux réels positifs, la relation
l exp(z)l 2 = (en e ( z l ) 2 est équivalente à 1 exp(z)I = en e ( z ) .
.
2 - . La relation précédente indique que 1 exp(z)I = 1 si et seulement si
en e( z ) = 1. D'après les propriétés de la fonction exponentielle réelle, ceci équivaut à 'R e (z) = 0, autrement dit à ce que z soit un imaginaire pur.
SOLUTION DE L'EXERCICE 4.8
1 - D'après la définition de la fonction sinus complexe, pour tout z E C on a
sin(z) = 0 si et seulement si exp(-iz) = exp(iz). Désignons par x la partie réelle
de z et par y sa partie imaginaire. On a exp(-iz) = exp(iz) si et seulement si
eY cos(x) - ieY sin(x) = e - Y cos(x) + ie - Y sin(x).
(13)
Deux complexes égaux ayant même module, on déduit de la relation (13) que
eY = e-Y. Ceci implique que e 2 Y = 1 donc que y = O. De la relation (13)
on déduit alors en identifiant les parties imaginaires que sin(x) = sin(x) (on a
toujours égalité des parties réelles). On a donc 2 sin( x) = 0 et par conséquent les
réels x solutions sont tous les réels de la forme x = k7r avec k E Z. Finalement
l'ensemble des solutions de l'équation sin(z) = 0 est S = {br ; k E Z}.
2 - Effectuons un raisonnement analogue pour déterminer l'ensemble des solutions dans C de l'équation sh(z) = O. D'après la définition de la fonction
sinus hyperbolique complexe, pour tout z E C on a sh(z) = 0 si et seulement
si exp(z) = exp(-z). Désignons par x la partie réelle de z et par y sa partie
imaginaire. On a exp(z) = exp(-z) si et seulement si
e"' cos(y) + ie"' sin(y) = e -x cos(y) - ie -x sin(y).
(14)
Deux complexes égaux ayant même module, on déduit de la relation (14) que
e"' = e-x ce qui implique que x = O. De la relation (14) on déduit alors en
identifiant les parties réelles que sin(y) = - sin(y) autrement dit que sin(y) =O.
Par conséquent on a y= k7r avec k E Z. L'ensemble des solutions de l'équation
sh(z) = 0 est donc S = {ik?r ; k E Z}.
3 - D'après la définition de la fonction cosinus complexe, pour tout z E Con a
cos(z) = i si et seulement si exp(iz) + exp(-iz) = 2i. Désignons par x la partie
réelle de z et par y sa partie imaginaire. On a
exp(iz) + exp(-iz)
e - Y(cos(x) + isin(x)) + eY (cos(x) - isin(x))
= cos(x)(e - Y + eY) + isin(x)(e - Y - eY)
= 2cos(x) ch(y) - 2isin(x) sh(y).