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Solutions des exercices
Pour montrer que f o est continue en to, il faut montrer que
'v' t: ElR� 377 ElR� \lt E]a, b[ (1 t-tol�77=? lf((t))-f((to)l �c) . (12)
Soit c un réel strictement positif fixé, t un élément de ]a, b[ et z = (t) un
élément de U. D'après (11) considérée avec c2 = t:, il existe 772 E JR+ tel que si
lz - zol = l(t) - (to)I � 772 alors lf(z) - f(zo)I = lf((t)) - f((to))I � c.
D'après l'assertion (10) considérée avec c1 = 77 2 , il existe 77 1 E JR+ tel que si
l t - toi � 11 1 alors l(t) - (to) I � 772· On en déduit que si t E]a, b[ est tel que
l t - toi � 111 alors lf((t)) - f((to))I � c. L'assertion (12) est démontrée.
SOLUTION DE L'EXERCICE 4.5
1 - Si z et z0 désignent deux complexes distincts et n un entier supérieur ou
égal à 2 on a:
f(z) - f(zo) = z n - z0 = (z - zo)(z n - l + zoz n - 2 + ... + z0 -2 z + z0 - 1 ).
On en déduit que :
Z n - z'{) n - 1
n -2
n -2
n
.Ô. z0 (z) =
=z +zoz + ... +z 0 z+z 0
z - zo
et lim z -+ zo .Ô. z0 (z) = nz� - 1 .
L'application f est donc holomorphe sur IC et admet pour dérivée l'applièation
f' : z E IC 1-7 nz n - 1 • Les cas n = 0 et n = 1 sont triviaux.
2 - Pour zo E IC, la quantité .Ô. z0 (z) = lz;::: :�:a l n'a pas de limite lorsque z tend
vers zo, voir l'exercice 4.3. On en déduit que l'application z E IC 1-7 lzl n'est
holomorphe nulle part zo E IC.
SOLUTION DE L'EXERCICE 4.6
Pour tout z E IC, d'après la proposition 4.20, on a
exp(z) =ex cos(y) + iex sin(y).
On en déduit que le complexe exp(z) de partie réelle x et de partie imaginaire y
est un réel si et seulement si ex sin(y) = O. Comme la fonction exponentielle
ne s'annule pas sur JR, cette relation est vraie si et seulement s'il existe k E Z
tel que y= br. Les complexes pour lesquels exp(z) est un réel sont donc tous
les complexes dont la partie imaginaire est multiple de 1r.
Par ailleurs, exp(z) est un imaginaire pur si et seulement si ex cos(y) = 0,
autrement dit, si cos(y) =O. On en déduit que exp(z) est un imaginaire pur si
et seulement s'il existe k E Z tel que Im(z) = (2k + 1 )7r /2.
SOLUTION DE L'EXERCICE 4. 7
1 - Pour tout z E IC, on a
1 exp(z)l 2 = exp(z) x exp(z) = exp(z) x exp(z)
= exp(z + z) = exp(2R e (z)) = exp(R e (z)) 2 = ( e'R e ( z ) )
2 .