Fonctions complexes de la variable complexe
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SOLUTION DE L'EXERCICE 4.3
Supposons que zo f:. 0 et considérons un premier arc géométrique qui est la
droite passant par zo et qui est parallèle à l'axe des réels. Cet arc admet pour
paramétrisation et par Yo sa partie imaginaire, on obtient pour tout réel t non nul,
f( 2xo + t
J(xo + t) 2 +Y� + Jx� + Y5 .
On a donc
J� f( =
J
:a 2·
Xo +Yo
Considérons à présent un arc géométrique qui est la droite passant par zo et
qui est parallèle à l'axe des imaginaires. Cet arc admet pour paramétrisation
2 : t E R f-+ zo + it. On obtient pour tout réel t non nul,
f (2(t)) = lzo + �� - lzol = &(Jx� +(yo + t) 2 - Jx� + Y5)
2yo + t
iJx� + (Yo + t) 2 + Jx� + Y5 .
On a donc
J� f(2(t)) = . J ;a 2
1 Xo + Yo
Puisque la limite est différente selon les deux arcs paramétrés considérés, f n'a
pas de limite en zo.
Si zo
=
0, on a f : z E C* f-+ lzl/ z. Considérons un arc géométrique qui est
l'axe des réels de paramétrisation 3 : t ER f-+ t. Pour tout réel t non nul, on a
f(3(t))
=
l � I = { � 1
si t > 0
si t < 0
La fonction f o 3 n'ayant pas de limite en 0, f n'a pas non plus de limite en O.
SOLUTION DE L'EXERCICE 4.4
Supposons que soit continue en t0 E]a, b[ i.e. supposons que
Vc 1 ER� 3771 ER� Vt E]a, b[ (i t - toi ::::; ; 771 ===? l(t) - (to) I ::::; ; c1). (10)
et supposons que f soit continue en z0 = (to), i.e. supposons que
Vc2 ER� 3772 ER� Vz EU (lz-zol ::::; ; 772 ===? lf(z)-f(zo)I ::::; ; €2) . (11)