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Solutions des exercices
4.10 Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 4.1
Considérons la boule ouverte D(za, ra) où za E C et ra E lR.'f- et montrons que
pour tout z1 E D(za, ra), il existe r1 E lR.'f- tel que la boule ouverte D(z1, r1)
soit incluse dans D(za, ra).
Pour z1 E D(za, ra) posons r1 = ra - lza - z1I· Quel que soit z E D(z1, r1) on
a lz - z1 1 < r1 et
ce qui signifie que z E D(za, ra). On en déduit que pour tout z1 E D(za, ra), la
boule ouverte D(z1, r i) avec r1 = ra - lza - z11 est incluse dans D(za, ra) et on
peut en conclure que toute boule ouverte de C est un ensemble ouvert.
SOLUTION DE L'EXERCICE 4.2
1 - Pour tous complexes z et za on a
l fi (z) - fi (za) I = IRe(z) - Re(za) I � lz - zal·
On en déduit que pour tout réel E strictement positif fixé, il existe un réel
strictement positif 'r/ (prendre par exemple 17 = E ) tel que si lz - zal � 17 alors
l fi (z) - fi (za) I � E .
2 - Pour tous complexes z et za on a
lh(z) - h( za) I = I Im(z) - Im(za) I � lz - zal ·
On en déduit que pour tout réel E strictement positif fixé, il existe un réel
strictement positif 17 (prendre par exemple 17 = E) tel que si lz - zal � 17 alors
lh(z) - h( za) I � E .
3 - Pour tous complexes z et za on a
lh(z) - h( za) I = l z - zal = lz - zal = lz - za l·
On en déduit que pour tout réel E strictement positif fixé, il existe un réel
strictement positif 17 (prendre par exemple 17 = é) tel que si lz - zal � 17 alors
lh(z) - h( za) I � é .
4 - La seconde inégalité triangulaire implique que pour tous complexes z et za
on a
l f4 (z) - f4 (za) I = llzl - lzall � lz - za l ·
On en déduit que pour tout réel é strictement positif fixé, il existe un réel
strictement positif 17 (prendre par exemple 17 = é) tel que si lz - za l � 17 alors
l f4 (z) - f4 (zo) I � é .