Fonctions complexes de la variable complexe
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fn : z E C r--+ thz n converge normalement sur la boule D(O, R) pour tout
R E JR+ puisque
1
sup lfn(z) I = 1 R n
zED(O,R)
n.
et le critère de D'Alembert permet d'établir que la série L n thR n converge.
D'après la proposition 4.23, la fonction exponentielle complexe est continue sur
la boule D(O, R) pour tout RE JR+, autrement dit elle est continue sur C.
Il résulte alors de la définition 4.16 p. 209 et de la proposition 4.10 p. 191 que les
fonctions sinus et sinus hyperbolique complexes, cosinus et cosinus hyperbolique
complexes sont continues sur C.
La proposition 4.23 permet également d'établir certains résultats concernant
les limites des fonctions usuelles. Pour tout z E C* on a exp(z) = L�:O Thz n
et par conséquent
( )
+oo
+oo
exp z -
1
=
'"'
1
Z n = l +
'"'
1
Z n
z
� (n+ l )!
� (n + l )! ·
La série d'applications L n gn de terme général gn : z E C r--+ ( n � l)! z n convergeant normalement sur la boule D(O, R) pour tout R E JR+, on déduit de la
·
·
4 23
l "
"°' +oo 1 n - "°' + 00 l "
1 n - Ü Ü
propos1t1on . que lmz-+O Lm =I ( n+l ) ! z - Lm =I Im z-+O (n+l ) ! z - . n
a donc :
lim exp(z) -
1
=
1.
z-o
z
zEC
Pour z E C* on a,
sin(z) = exp(iz) -
.
exp(-iz) = exp(-iz) exp(2 � z) -
1
_
z
21z
21z
C
1. exp(2iz) -
1
omme im ---- -
HO
2iz
zEC
on en déduit que :
lim exp(()
- 1
=
1 et comme lim exp(-iz) =
1
,
<-o
(
z-o
(EC
zEC
lim sin(z) =
1 .
z-o
z
z EC
Pour z E C* on a sh(z) = -isin(iz) et
sh(z)
z
i sin(iz)
z
sin(iz)
iz
. sin(iz) . sin(()
, .
Comme hm -. -- = hm -
(
-, on en dedmt que
z-+0 IZ
(-+0
1.
sh(z) 1
im -- = .
z-o
z
•EC