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Suites et séries de fonctions de la variable complexe
THÉORÈME 4.3 (Règle d'Abel uniforme)
Soit Un)n une suite d'applications d'un sous-ensemble Z de C dans C dont
le terme général est de la fo rme
fn(z) = 9 n(z) X hn(z)
où (gn)n est une suite d'applications de Z dans lR:f. et (hn)n est une suite
d'applications de Z dans C. Si,
1. pour tout z E Z fixé, la suite numérique réelle (gn(z))n est une suite
décroissante ;
2. la suite d'applications (gn)n converge uniformément sur Z vers l'application nulle ;
3. il existe un réel positif M tel que : Vz E Z Vn EN I E� =O h k (z)I :( M ;
alors la série d'applications E n fn converge uniformément sur Z.
Comme dans le cas des séries de fonctions réelles, les liens d'implication entre les
différents types de convergence peuvent être représentés de la manière suivante :
1 Convergence uniforme sur Z 1
1 Convergence normale sur Z 1
-
1 Convergence simple sur Z 1
1 Convergence absolue sur Z 1
Si l'on s'intéresse aux propriétés de la somme d'une série de fonctions de la
variable complexe, on a le résultat suivant qui étend le théorème 3. 7 p. 135 et
qui se démontre d'une manière très semblable.
PROPOSITION 4.23 Soient U un ouvert non vide de C et E n fn une série
d'applications de U dans C convergeant uniformément sur U. Si pour tout
n EN , l'application fn est continue en zo E U (resp. sur U) alors la somme
de la série 4.8.3 Continuité des fonctions usuelles de la variable complexe
La fonction exponentielle complexe a été définie comme la somme de la série
E n ;hz n , voir la définition 4.15. La série d'applications E n f n de terme général