Fonctions complexes de la variable complexe
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PROPOSITION 4.22 Soient U un ouvert non vide de d'applications de U dans zo E U {resp. sur U) alors f est continue en zo (resp . sur U) .
Signalons que les théorèmes 2.5 et 2.6 p. 92 donnant des conditions de dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions de la variable réelle n'admettent·
pas d'énoncé sous· la même forme dans le cas des suites de fonctions de la
variable complexe. Cette distinction est liée aux propriétés très spéciales que
possèdent les fonctions holomorphes. En particulier, la convergence uniforme
d'une suite de fonctions Un)n de la variable complexe sur un ouvert connexe U
de dans U.
4.8.2 Séries de fonctions complexes de la variable complexe
Étant donné une suite d'applications Un)n définies sur un sous-ensemble non
vide Z de on note L n fn, le couple ((fn)nEN, (cPn)nEN) d'éléments de S(Z, où (cPn)n est la suite d'applications de terme général suite des sommes partielles associée à la série L n f n·
On dit que la série d'applications L n f n converge simplement sur Z si la suite
d'applications ( la série d'applications L n fn, la limite

note
+ oo
Vz E Z n=O
On dit que la série d'applications L n f n converge uniformément (resp. absolument) sur Z si la suite d'applications ( absolument) sur z.
On dit que la série d'applications L n fn de Z dans sur Z si la série numérique réelle L n U n de terme général U n = sup zE Z lfn(z)I
converge.
Comme dans le cas des séries de fonctions de la variable réelle, l'étude de la
convergence uniforme d'une série de fonctions de la variable complexe passe
dans un premier temps par l'étude de la convergence normale. Si la série
converge normalement sur un ensemble Z donné alors elle converge uniformément sur cet ensemble. Dans le cas où il n'y a pas convergence normale, on
peut avoir recours au résultat suivant qui étend au cas des séries de fonctions
de la variable complexe le théorème 3.6.

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