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Suites et séries de fonctions de la variable complexe
4.8 Suites et séries de fonctions complexes
de la variable complexe
4.8.1 Suites de fonctions complexes de la variable complexe
Une suite de fonctions complexes de la variable complexe est une famille dénombrable (indicée par N) d'applications définies sur un même sous-ensemble Z
de C à valeurs dans C.
On dit que la suite d'applications U n ) n converge simplement sur Z vers l'application f de Z dans C si
jVz E Z 1 Vê E JR+ 3N z, ê EN Vn EN (n � N z, ê ===} lfn (z) - f(z)I :::; ê ) .
On remarquera que cette définition est identique à la définition 1 p. 71 de la
convergence simple d'une suite de fonctions de la variable réelle, le module
remplaçant la valeur absolue.
De la même manière, en accord avec la définition 2 p. 73, on dit que la suite
d'applications U n ) n converge uniformément sur Z vers l'application f de Z
dans C, si
On a le résultat suivant : si la suite d'applications U n ) n de Z dans C converge
uniformément vers l'application f de Z dans C alors elle converge aussi simplement vers f sur Z. Ce résultat qui prolonge au cas de la variable complexe
le théorème 2.1 p. 78 se démontre de la même manière : il suffit de considérer
le module à chaque endroit où figurait la valeur absolue.
Les façons de montrer qu'une suite de fonctions complexes de la variable complexe converge simplement ou uniformément sur un sous-ensemble Z de C sont
identiques à celles qui ont été présentées au chap. 2 dans le cas des de fonctions
réelles de la variable réelle. Mentionnons en particulier, voir la proposition 2.2
p. 74, qu'une condition nécessaire et suffisante pour que la suite U n ) n converge
uniformément vers f sur Z est que la suite réelle de terme général
U n = sup lfn(z) - f(z)I
zEZ
converge vers O. D'une manière générale, tous les résultats de la section 2.2
du chap. 2 restent valables dans le cas d'une suite de fonctions complexes de
la variable complexe. Il suffit de considérer le module à la place de la valeur
absolue.
Concernant les propriétés de la limite d'une suite de fonctions de la variable
complexe, on a le résultat suivant qui étend au cas des fonctions de la variable
complexe le théorème 2.3 p. 86 et dont la preuve s'effectue de manière très
semblable.
Suites et séries de fonctions de la variable complexe
4.8 Suites et séries de fonctions complexes
de la variable complexe
4.8.1 Suites de fonctions complexes de la variable complexe
Une suite de fonctions complexes de la variable complexe est une famille dénombrable (indicée par N) d'applications définies sur un même sous-ensemble Z
de C à valeurs dans C.
On dit que la suite d'applications U n ) n converge simplement sur Z vers l'application f de Z dans C si
jVz E Z 1 Vê E JR+ 3N z, ê EN Vn EN (n � N z, ê ===} lfn (z) - f(z)I :::; ê ) .
On remarquera que cette définition est identique à la définition 1 p. 71 de la
convergence simple d'une suite de fonctions de la variable réelle, le module
remplaçant la valeur absolue.
De la même manière, en accord avec la définition 2 p. 73, on dit que la suite
d'applications U n ) n converge uniformément sur Z vers l'application f de Z
dans C, si
On a le résultat suivant : si la suite d'applications U n ) n de Z dans C converge
uniformément vers l'application f de Z dans C alors elle converge aussi simplement vers f sur Z. Ce résultat qui prolonge au cas de la variable complexe
le théorème 2.1 p. 78 se démontre de la même manière : il suffit de considérer
le module à chaque endroit où figurait la valeur absolue.
Les façons de montrer qu'une suite de fonctions complexes de la variable complexe converge simplement ou uniformément sur un sous-ensemble Z de C sont
identiques à celles qui ont été présentées au chap. 2 dans le cas des de fonctions
réelles de la variable réelle. Mentionnons en particulier, voir la proposition 2.2
p. 74, qu'une condition nécessaire et suffisante pour que la suite U n ) n converge
uniformément vers f sur Z est que la suite réelle de terme général
U n = sup lfn(z) - f(z)I
zEZ
converge vers O. D'une manière générale, tous les résultats de la section 2.2
du chap. 2 restent valables dans le cas d'une suite de fonctions complexes de
la variable complexe. Il suffit de considérer le module à la place de la valeur
absolue.
Concernant les propriétés de la limite d'une suite de fonctions de la variable
complexe, on a le résultat suivant qui étend au cas des fonctions de la variable
complexe le théorème 2.3 p. 86 et dont la preuve s'effectue de manière très
semblable.