Fonctions complexes de la variable complexe
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Partie réelle
Partie imaginaire
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22
Fig. 8 Représentation graphique de la partie réelle (à gauche)
et de la partie imaginaire (à droite) de la fonction logarithme
complexe.
Remarques
1. Par construction, la fonction Log est une application continue sur et.
0
2. Si z1 , z 2 et z 1 z 2 appartiennent à et, on peut montrer qu'il existe un entier
relatif k tel que
•
( 35 )
S1 de plus Arg(zi ) + Arg(z 2 ) E] - 7r, 7r] alors :
Log(z 1 z 2 ) = Log(z 1 ) + Log(z 2 ).
0
Rappelons, voir p. 175, que pour tout n E N*, on appelle détermination principale de la fo nction racine n-ième complexe l'application :
z E e* f--- -+ \!1tj e
* A rg (z) .
Pour z E et, on peut écrire :
y'z = \/Îtj e * A rg (z) = exp - + - Arg(z) = exp( l Log(z)).
.
( 1 i )
ln lzl n
n
<35 l Voir le Cours de première année p. 136.
-2