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Fonctions usuelles de la variable complexe
0
Log
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1r
0
- 1r
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Fig. 7 Représentation graphique de l'ensemble de définition et
de l'image de la fonction logarithme complexe.
Il s'agit donc de la bijection réciproque de la restriction à l'ensemble G de la
fonction exponentielle.
L'application L présente la particularité de ne pas être continue sur son ensemble de définition L(zo) = ln(jz0 1) + iArg(zo) = ln(-xo) + iw. Considérons un arc géométrique de
paramétrisation cp : t E lR. t--- -t xo + it dont le support est une droite parallèle à
l'axe des imaginaires contenant le point d'affixe Xo - On a (O) = xo et
L( Pour t < 0, on a Arg(xo + it) E] - w, - !w[ et
t--+O•
•
( 3 4 )
Comme la fonction Arg est contmue sur
ct = et que la fonction z t--- -t ln lzl est continue sur que l'ensemble de continuité de L est et.
Ces considérations motivent la définition suivante.
DÉFINITION 4.18 (Détermination principale du logarithme)
On appelle détermination principale du logarithme complexe (ou plus simplement logarithme complexe) l'application notée Log définie sur l'ensemble
et = e \ {z E e; Re(z) � 0 et Im(z) = O} par
Log : z E et � ln(jzl) + iArg(z) E F
où Arg désigne la détermination principale de l'argument : Arg(z) E] - w, w [
et G = {w E e; Im(w) E] -w ,w[} .
<3 4 > Voir p. 192 pour la justification de ce résultat.