Fonctions complexes de la variable complexe
Pour tout (z, z') E C 2 , on a les quatre relations suivantes :
ch(z + z')
ch(z - z')
sh(z + z')
sh(z - z')
ch(z) ch(z') + sh(z) sh(z')
ch(z) ch(z') - sh(z) sh(z')
= sh(z) ch(z') + ch(z) sh(z')
= sh(z) ch(z') - ch(z) sh(z')
En prenant z' égal à z dans les égalités précédentes, on obtient :
ch(2z) = ch 2 (z) + sh 2 (z) = 2ch 2 (z) - 1=1+ 2sh 2 (z)
sh(2z) = 2ch(z) sh(z)
Exercice 4.9
213
1 - Déterminer les ensembles de définition des fonctions complexes de la
variable complexe suivantes :
f
sin(Re(z))
1 : z t--t sh(z)
f
ne(sin(z))
z :z t--t sh(z)
sin(z)
h : z f-t 'Re(sh(z))
2 - En considérant des arcs paramétrés particuliers dans C, montrer que ces
fonctions n'ont pas de limite dans C en O.
4.7.3 La fonction logarithme complexe
Dans le cadre des fonctions de la variable réelle, la fonction exponentielle définit
une bijection de 1R. dans R+ dont la bijection réciproque est la fonction logarithme. Nous allons voir que dans le cas des fonctions de la variable complexe,
la fonction exponentielle complexe n'est pas injective sur C.
Soient w un nombre complexe de partie réelle u et de partie imaginaire v et z
un nombre complexe non nul tel que exp(w) = z. On a exp(w) = e" exp(iv) et
z = lzl exp(iArg(z)) où Arg désigne la détermination principale de l'argument
(i.e. Arg(z) E] - 7r, 7r]) . On déduit de la relation e" exp(iv) = lzl exp(i Arg(z))
que u est entièrement déterminé par z via la relation u = ln(jzl). Par contre,
v est égal à Arg(z) modulo 27r. Cela implique que la fonction exponentielle
complexe n'est pas une bijection sur C (alors que la fonction exponentielle réelle
est une bijection de lR. dans R+) . Si l'on fait le choix de prendre v = Arg(z)
(v E] - 7r, 7r]) alors on peut définir l'application :
L: z E C* f-t ln(jzl) + iArg(z) E G
où G = {w E C; Im(w) E] - 7r, 7r]}. Cette application vérifie :
exp(L(z)) = z 't:/z E C* et L(exp(w)) = w 't:/ w EG.