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Fo nctions usuelles de la variable complexe
On en déduit la relation suivante :
1 Vz E C cos 2 (z) +sin 2 (z) = 1
De la même manière, en revenant à la définition des fonctions sinus et cosinus
à l'aide de la fonction exponentielle complexe et en utilisant les propriétés de
cette dernière, on montre pour tout (z, z') E C 2 les quatre relations suivantes,
appelées fo rmules d'addition des arcs :
cos(z) cos(z') - sin(z) sin(z')
cos(z) cos(z') + sin(z) sin(z')
sin(z) cos(z') + cos(z) sin(z')
cos(z + z')
cos(z - z')
sin(z + z')
sin(z - z') = sin(z) cos(z') - cos(z) sin(z')
En prenant z' égal à z dans les égalités précédentes, on obtient les formules
dites de doublement des arcs :
cos(2z)
cos 2 (z) - sin 2 (z) = 2cos 2 (z) -1=1-2sin 2 (z)
sin(2z) = 2cos(z) sin(z)
Les formules suivantes se déduisent immédiatement des quatre formules d'addition des arcs. Pour tout ( z, z') E C 2 ,
2cos(z) x cos(z')
2sin(z) x sin(z')
2 sin( z) x cos( z')
cos(z + z') + cos(z - z')
= cos(z - z') - cos(z + z')
= sin(z + z') + sin(z - z')
En remplaçant z par �(z + z') et z' par Hz - z') dans les relations précédentes
on obtient les relations :
sin(z) + sin(z')
2 sin( z � z' ) cos ( z � z' )
sin(z) - sin(z') = 2sinC �
z' ) cos ( z � z' )
cos(z) +cos(z')
2cosC� z' ) cos ( z �
z' )
cos(z) - cos(z')
-2sinC � z' ) sinC � z' )
Formulaire de trigonométrie hyperbolique complexe
Pour tout z E C, on a les relations suivantes qui s'obtiennent aisément à partir
de la définition 4.16 :
ch(z) + sh(z)
exp(z)
ch(z) - sh(z)
exp(-z)
ch 2 (z) - sh 2 (z) = 1