Fonctions complexes de la variable complexe
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exp(iz) - exp(-iz) = 4i. Désignons par x la partie réelle de z et par y sa
partie imaginaire. On a
exp(iz) - exp(-iz)
e - Y(cos(x) + isin(x)) - eY (cos(x) - isin(x))
cos(x)(e - Y - eY) + isin(x)(e - Y + eY)
= -2 cos(x) sh(y) + 2isin(x) ch(y).
On en déduit que sin(z) = 2 si et seulement si cos(x) sh(y) = 0 et sin(x) ch(y) = 2.
Intéressons-nous à la première des deux conditions ; on a cos(x) sh(y) = 0 si
et seulement si y = 0 ou x = � + k7r, k E Z. Si y = 0 alors sin(x) ch(y) = 2
devient sin(x) = 2 et aucun réel x ne satisfait cette relation. Si x = � + k7r
avec k E Z alors sin(x) = (-l)i k l et sin(x) ch(y) = 2 devient ch(y) = (-2)i k l.
Comme la fonction cosinus hyperbolique est minorée par 1, il ne peut y avoir
de solution que si l'entier naturel /kl est pair ; cette solution est y= argch(2).
Finalement, on en conclut que les solutions dans C de l'équation sin(z) = 2
sont les complexes z = � + 2br + i argch(2) avec f E Z.
Exercice 4.8 Résoudre dans C les équations suivantes :
1-sin(z) =O
2-sh(z) =O
3-cos(z) =i
DÉFINITION 4.17
X On appelle fonction tangente complexe et on note tan l'application définie
pour tout z E C \ { !n + k1r ; k E Z} par
( )
_
sin(z)
tan z - ( ) .
cos z
X On appelle fonction tangente hyperbolique complexe et on note th l'application définie pour tout z E C \ { � ni + kni ; k E Z} par
sh(z)
th(z) = ch(z) .
La fonction tangente complexe (resp. tangente hyperbolique complexe) « prolonge » à C la fonction réelle de la variable réelle tangente (resp. tangente
hyperbolique) au sens où si z désigne un complexe de partie imaginaire nulle
ces deux fonctions prennent les mêmes valeurs.
Formulaire de trigonométrie circulaire complexe
Pour tout complexe z, on obtient en utilisant la relation a 2 -b 2 = (a- b)(a+b),
cos 2 (z) + sin 2 (z) = H (exp(iz) + exp(-iz)) 2 - (exp(iz) - exp(-iz)) 2 )
= exp(-iz) x exp(iz).