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Exercices de synthèse
Compte tenu du fait que la fonction cosinus (resp. cosinus hyperbolique) est
continue en 0 et prend la valeur 1 en 0, on déduit des relations précédentes
que :
lim tan(z) =
l
,
z-o
z
z EC
lim th(z) = 1.
z-o
z
z EC
Enfin, pour tout z E Con a cos(z) = cos(2�) = 1-2sin 2 (�) et par conséquent
cos(z) -1 = _ 2
sin 2 (�) = - � ( sin(�) ) 2
z 2
z 2
2
�
sin(�)
sin(()
Comme Iim ----:z2- = lim -1'- = 1, on en déduit que
z-o
-
c;-o
�
z EC
2
(EC
lim cos(z) - 1 = - � .
• -o
z 2
2
z EC
De plus, comme ch(z) = cos(iz) on a
ch(z) - 1
z 2
cos(iz) - 1
(iz) 2
cos(iz) - 1 . cos(() - 1
1
.
et puisque lim (' ) 2
= hm
l'Z
= - - 2 , on en déduit que
·-o
IZ
<-o
':.
zEC
(EC
Exercice 4.10
1. ch(z) -1 1
1m
= -.
·-o
z 2
2
z EC
4.9 Exercices de synthèse
1 - Soit z un nombre complexe de partie réelle x et de partie imaginaire y.
a) Exprimer 1 sin(z)I à l'aide des fonctions réelles de la variable réelle sinus,
cosinus, sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique en x et y.
b) En déduire que l sh(y)I � l sin(z)I � ch(y).
c) Montrer que les fonction sinus et cosinus ne sont pas bornées sur C.
2 - Montrer que pour tout z E Con a 1cos(z)l 2 +1 sin(z)j 2 � 1 et que l'égalité
a lieu uniquement si z est réel.
3 - a) Montrer que la série de fonctions complexes I: n fn de terme général
f n : z 1--+ �sin (�) converge absolument dans C.
On désigne par f l'application de C dans C qui est la somme de cette série.