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Fonctions usuelles de la variable complexe
Exponentielle d'un imaginaire pur
Considérons le cas d'un complexe z imaginaire pur : z = i8 avec e E R On
obtient par la définition 4.15, en séparant la partie réelle et la partie imaginaire
de l'expression :
+oo l
+oo ( l) k
+oo ( l ) k
( · e ) � ·n e n � - e2 k . � -
e2 k+l
exp 1 = L., n! 1 = L., (2k)! + 1 L., (2k + 1)! ·
n=O
k=O
k=O
(8)
L - · - 11 """"' (- 1 lke2 k t """"' (-i> k e2 k+ i
t · 11
t
es senes ree es L..J k (2 k ) !
e L..J k ( 2 k+l ) !
convergen , e es on pour
somme respectives la partie réelle et la partie imaginaire du complexe exp(iO).
Intéressons-nous aux deux fonctions de la variable réelle f c et f s définies par :
+oo (-l) k 2 k
J e : XE lR t--t L (2k)! X et
k=O
+oo (-l) k
f · X E JR t--t �
x 2 k+l
s .
L., (2k + 1)!
.
k=O
Nous allons montrer que la première est la fonction cosinus et la seconde la
fonction sinus. On peut remarquer d'une part que fc(O) = 1 = cos(O) et fc est
paire comme la fonction cosinus, et d'autre part que !s (O) = 0 = sin(O) et fs
est impaire comme la fonction sinus. Il suffit donc de s'intéresser à ces fonctions
sur R+ uniquement.
Pour tout n EN et pour tout x E R+, la formule de Taylor-Lagrange appliquée
à la fonction cosinus entre 0 et x à l'ordre 2n, nous assure de l'existence d'un
réel c avec 0 < c < x tel que
( )
_ � cos ( k ) (O) k cos( 2 n+l l (c) 2 n+l
COS X - L., k! X + (2n + l)!
X ·
k=O
Rappelons c3 o J que la dérivée k-ième de la fonction cosinus est l'application
x E lR r--+ cos(x + k� ). Les dérivées d'ordre k, où k est un entier impair, en 0
de la fonction cosinus valent donc 0 et les dérivées d'ordre k, où k est un entier
pair, en 0 valent ( -1 ) k / 2 . On en déduit que
( )
.ç... . (- l ) e 2 e cos(c + (2n + l ) I ) 2 n+l
COS X = � (2f)! X + (2n + 1)! X .
Pour tout x ER+ et pour tout n EN, on a:
lcos(c+ (2n + l ) I ) 2 n+l / 1 2 n+ 1
-------=-- X
�
X .
(2n + 1)!
(2n + 1)!
D'après la formule de Stirling c31J , (2n + 1)! '"" J21r(2n + 1) ( 2 n ! 1 ) 2 n+ i . On en
+oo
déduit que
1 X 2 n+ 1
rv
1
( e X ) 2 n+l 1 ( e X ) 2 n+ 1
(2n + 1)!
+oo J27r(2n + 1) 2n + 1
+:O 2,fiffi 2n
< 3 0 > Voir le Cours de première année p. 726.
< 31 > Voir le Cours de première année p. 199 : n! rv ,/2mï (n/er .
+oo
Fonctions usuelles de la variable complexe
Exponentielle d'un imaginaire pur
Considérons le cas d'un complexe z imaginaire pur : z = i8 avec e E R On
obtient par la définition 4.15, en séparant la partie réelle et la partie imaginaire
de l'expression :
+oo l
+oo ( l) k
+oo ( l ) k
( · e ) � ·n e n � - e2 k . � -
e2 k+l
exp 1 = L., n! 1 = L., (2k)! + 1 L., (2k + 1)! ·
n=O
k=O
k=O
(8)
L - · - 11 """"' (- 1 lke2 k t """"' (-i> k e2 k+ i
t · 11
t
es senes ree es L..J k (2 k ) !
e L..J k ( 2 k+l ) !
convergen , e es on pour
somme respectives la partie réelle et la partie imaginaire du complexe exp(iO).
Intéressons-nous aux deux fonctions de la variable réelle f c et f s définies par :
+oo (-l) k 2 k
J e : XE lR t--t L (2k)! X et
k=O
+oo (-l) k
f · X E JR t--t �
x 2 k+l
s .
L., (2k + 1)!
.
k=O
Nous allons montrer que la première est la fonction cosinus et la seconde la
fonction sinus. On peut remarquer d'une part que fc(O) = 1 = cos(O) et fc est
paire comme la fonction cosinus, et d'autre part que !s (O) = 0 = sin(O) et fs
est impaire comme la fonction sinus. Il suffit donc de s'intéresser à ces fonctions
sur R+ uniquement.
Pour tout n EN et pour tout x E R+, la formule de Taylor-Lagrange appliquée
à la fonction cosinus entre 0 et x à l'ordre 2n, nous assure de l'existence d'un
réel c avec 0 < c < x tel que
( )
_ � cos ( k ) (O) k cos( 2 n+l l (c) 2 n+l
COS X - L., k! X + (2n + l)!
X ·
k=O
Rappelons c3 o J que la dérivée k-ième de la fonction cosinus est l'application
x E lR r--+ cos(x + k� ). Les dérivées d'ordre k, où k est un entier impair, en 0
de la fonction cosinus valent donc 0 et les dérivées d'ordre k, où k est un entier
pair, en 0 valent ( -1 ) k / 2 . On en déduit que
( )
.ç... . (- l ) e 2 e cos(c + (2n + l ) I ) 2 n+l
COS X = � (2f)! X + (2n + 1)! X .
Pour tout x ER+ et pour tout n EN, on a:
lcos(c+ (2n + l ) I ) 2 n+l / 1 2 n+ 1
-------=-- X
�
X .
(2n + 1)!
(2n + 1)!
D'après la formule de Stirling c31J , (2n + 1)! '"" J21r(2n + 1) ( 2 n ! 1 ) 2 n+ i . On en
+oo
déduit que
1 X 2 n+ 1
rv
1
( e X ) 2 n+l 1 ( e X ) 2 n+ 1
(2n + 1)!
+oo J27r(2n + 1) 2n + 1
+:O 2,fiffi 2n
< 3 0 > Voir le Cours de première année p. 726.
< 31 > Voir le Cours de première année p. 199 : n! rv ,/2mï (n/er .
+oo