Fonctions complexes de la variable complexe
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Démonstration � Pour tout (z1 , z 2 ) E exp(z1 + z 2 ) = I:�:O � (z1 + z 2 r. Par ailleurs, exp(zi) = I:�:O �zï et
exp(z 2 ) = I:�:O �z2'. On en qéduit c 2 s > que exp(z1 ) x exp(z 2 ) = I:�:O Cn où
pour tout n E N on a
n
n
'"" 1 k 1 n - k 1 '"" k k n - k 1 (
) n
Cn = � kl Z 1 ( _ k) I Z 2 = j � C n Z 1 Z 2 = j Z1 + Z 2 ,
k=O •
n
·
n .
k=O
n .
la dernière égalité découlant de la formule du binôme de Newton <29> . On en
déduit que :
La première relation de la proposition est vérifiée.
� Prenant z 2 = -z1 dans la relation que l'on vient d'établir, on obtient les
égalités :
exp(z1 - z1 ) = exp(O) = 1 = exp(zi) x exp(-z1 ).
On en déduit dans un premier temps que exp(zi) =/:- 0, puis dans un deuxième
temps que
1
exp(-z1 ) = ( )
exp z1
� En utilisant la première relation avec -z 2 à la place de z 2 on obtient :
D'après la seconde relation on a exp(-z 2 ) = 1/ exp(z 2 ) et on déduit que :
exp(z1 )
exp(z1 - z 2 ) = ( ) .
exp z 2
� La dernière des relations s'obtient dans le cas où n est un entier naturel non
nul par récurrence à partir de la première relation. On étend alors la propriété
aux entiers relatifs négatifs en ayant recours à la seconde relation.
0
Remarque On a établi dans la démonstration de la proposition 4.19 la relation
exp(z) x exp(-z) = 1 pour tout z E que la fonction exponentielle complexe ne s'annule pas sur <>
<28> Voir la proposition 1.14 p. 39.
<29> voir la proposition 2.12 p. 72 du Cours de première année.