Fo nctions complexes de la variable complexe
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Pour tout x E IR:f- fixé, on a pour n assez grand �� < 1, ce qui permet d'affirmer
que
lim
1 x 2 n+l = lim _ 1 _ (ex )2 n+ 1 = 0
n-> +oo (2n + 1)!
n->+ oo 2..[im 27t
·
On en conclut que
+oo ( - l ) k
n ( - l ) k
� (2k)! x 2 k = n .!! � oo � (2k)! x 2 k = cos(x),
et par conséquent que fc est la fonction cosinus. Un raisonnement similaire
permet de montrer que f s est la fonction sinus.
Ainsi, la relation (8) permet d'établir la relation suivante pour tout () E lR :
1 exp(iB) = cos( B) + i sin( B) 1
et on retrouve la notation introduite pour l'écriture polaire c3 2> d'un nombre
complexe. En particulier la quatrième relation de la proposition 4.19 nous donne
la formule de Moivre < 3 2> :
1 (cos(B) + isin(B)) n = exp(iB) n = exp(inB) = cos(nB) + isin(nB). ,
Pour tout complexe z de partie réelle x et de partie imaginaire y, on a d'après la
proposition 4.19 : exp(z) = exp(x + iy) = exp(x) exp(iy). Compte tenu du fait
que x et y sont réels, on a exp(iy) = cos(y) +isin(y) et exp(x) = ex. On a donc
établi le lien suivant entre la fonction exponentielle de la variable complexe et
les fonctions sinus, cosinus et exponentielle de la variable réelle.
PROPOSITION 4.20 Pour tout complexe z de partie réelle x et de partie imaginaire y, on a
exp(z) =ex (cos(y) + isin(y)).
La proposition 4.20 permet de représenter graphiquement la fonction exponentielle complexe, voir la figure 6.
1 Exercice 4.6 Déterminer les complexes z pour lesquels exp(z) est un réel
puis ceux pour lesquels il s'agit d'un imaginaire pur.
On remarquera que la proposition 4.20 implique que la fonction exponentielle
complexe est une fonction périodique de période 27ri. L'ensemble de ses périodes
est {2k7ri ; k E Z} .
COROLLAIRE 4.2 Pour tout z E C on a exp(z) = exp(z).
(3 2 ) Voir le Cours de première année p. 138.