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Limite d'une fonction de la variable complexe
Pour tout c E IR'.f-, il existe 'T/ E IR'.f- tel que, pour tout z E U,
lz - zo l � 'T/ ===} lf(z) - e1 � é .
On en déduit que pour tout t E I,
( Cela signifie que si f admet pour limite le complexe e en Zo alors nécessairement
la limite de f 0

On dispose ainsi d'un moyen pratique de montrer qu'une fonction f de la
variable complexe n'a pas de limite en zo.
1. On peut chercher un arc géométrique de paramétrisation

son support (i.e. tel qu'il existe to E lR pour lequel zo = fonction f o

2. On peut chercher deux arcs géométriques distincts de paramétrisations respectives

3so E lR zo = 'lf;(so)) tels que la limite de la fonction f o

limite de la fonction f o 7/J en so soient distinctes.
Exemples
1. L'application f: z E C* 1--- -+ Arg(z) n'a pas de limite en O. Considérons l'arc
géométrique dont le support est l'axe des imaginaires et dont une paramétrisation est

limite en t0 = 0, car (! o O .
On en déduit que f n'a pas de limite en zo = 2. Intéressons-nous à la limite en 0 de l'application f : z E C* 1--- -+ ne(Î�rm(z).
Considérons un premier arc géométrique dont le support est l'axe des réels et
dont une paramétrisation est f o paramétrisation est admet pour limite � en so =O. On en conclut que f n'a pas de limite en O.
Remarque D'un point de vue pratique, lorsque l'on souhaite montrer par
cette méthode qu'une application n'a pas de limite en zo, il est commode et
souvent suffisant de considérer simultanément tous les arcs géométriques qui
sont des droites passant par z0. Ces arcs admettent pour paramétrisation l'application

méthode, on montre aisément que l'application f: z E C* 1--- -+ z 2 /lzl 2 n'a pas de
limite en O. Si l'on considère les droites passant par l'origine de paramétrisation

t 2 e 2iO
f( La limite de cette quantité lorsque t tend vers 0 vaut e 2i 8 et dépend par conséquent de l'arc paramétré choisi.
o