Fonctions complexes de la variable complexe
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Exercice 4.3 Soit zo E z -zo
pas de limite en zo.
Comment établir qu'une fonction a une limite
Reprenons la définition : une application complexe f de U dans limite f E 'v'c EIRf- 377 E!Rf- \fz EU (lz-zo l � 77 ===> lf(z) ° -fl � c) .
Ainsi, pour montrer que f admet f pour limite en zo, il faut et il suffit de
montrer que l'application g : z E U f-+ lf(z) - fi E JR + admet pour limite 0
en zo.
Il résulte du théorème d'encadrement que si h est une application définie au
voisinage de zo qui admet 0 pour limite en zo et telle qu'au voisinage de zo
on ait 0 � g(z) � h(z) alors g admet pour limite 0 en zo (et f admet pour
limite f).
D'un point de vue pratique on peut donc procéder ainsi pour établir qu'une
fonction f a une limite en zo.
1. On cherche la valeur de f en considérant un arc géométrique ayant zo dans
son support et on étudie la limite de f en restriction à cet arc.
2. On majore au voisinage de zo la fonction à valeurs réelles g: z f-+ lf(z) - fi
par une fonction dont on sait que la limite en zo est O.
Illustrons la méthode sur un exemple.
Exemple Étudions la limite en z0 =ide l'application
. .
(lzl - 1) 2
f:zE 2 l
z +
En considérant l'arc géométrique formé par l'axe des imaginaires et en étudiant
la limite de f en i en restriction à cet arc, on obtient que si la limite existe sa
valeur est nécessairement O. Pour tout z E g(z) = lf(z) - OI = 1 (lzl - 1) 2 1 = llzl - 11 2
z 2 +1
lz 2 +li
Or z 2 + 1 = (z - i)(z + i) et d'après la seconde inégalité triangulaire < '9> on a:
llzl - l i = llzl - lill � lz - il . On en déduit que
lz - il 2
lg(z)I � l (z - i)(z + i)I
lz - il
lz +il "
La fonction h : z f-+ lz - il/lz +il admet pour limite 0 en i donc la limite en i
de f est O.
(I9) Voir la proposition 4.4 p. 134 du Cours de première année.