Fonctions complexes de la variable complexe
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Notons 1J = min(7Ji , 7] 2 ) ; en utilisant la première inégalité triangulaire, on obtient pour tout z E B ( zo, 17) n U :
l i!i - l 2 1 � lf ( z) - li l + lf ( z) - l 2 1 � � I l i - l 2 1 ·
La relation I li - l 2 1 � � I li - l 2 1 est impossible si li -=1- h On aboutit à une
contradiction. Cela signifie que l'hypothèse de deux limites distinctes pour f
en zo est absurde. On a ainsi ·démontré que si l'application f admettait une
limite en zo alors celle-ci était nécessairement unique.
D
La limite (lorsqu'elle existe) d'une application complexe f, définie sur un ouvert U de C, en zo E U étant unique, on peut introduire un symbole pour
désigner cette limite. Comme dans le cas des fonctions de la variable réelle, on
désigne par
lim f ( z)
z-zo
•EU
la limite de l'application f en zo E U. Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté possible
sur l'ensemble de départ de l'application f, on écrit plus simplement lim f ( z).
Remarque Il résulte de la définition 4.10 que
lim f ( z) = l {::: :: :: :} lim f ( zo + w ) = l,
z--+zo
w--+O
Z--+Zo
et, selon les situations, il peut être plus avantageux de privilégier l'une ou
l'autre des deux formes.
o
4.4.2 Étude de la limite
Contrairement au cas des fonctions réelles de la variable réelle, nous allons voir
que dans le cas des fonctions complexes de la variable complexe, il est en général
beaucoup plus facile (d'un point de vue pratique) de montrer qu'une fonction
n'a pas de limite en un point que de montrer qu'elle en a une.
Un moyen pratique d'établir qu'une fonction n'a pas de limite
Soient f une application complexe définie sur un ouvert U de C admettant pour
limite en zo E U le complexe l et "( un arc géométrique de classe c i représenté
par un arc paramétré le point d'affixe zo et que zo =
l où M = sups E I l
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Notons 1J = min(7Ji , 7] 2 ) ; en utilisant la première inégalité triangulaire, on obtient pour tout z E B ( zo, 17) n U :
l i!i - l 2 1 � lf ( z) - li l + lf ( z) - l 2 1 � � I l i - l 2 1 ·
La relation I li - l 2 1 � � I li - l 2 1 est impossible si li -=1- h On aboutit à une
contradiction. Cela signifie que l'hypothèse de deux limites distinctes pour f
en zo est absurde. On a ainsi ·démontré que si l'application f admettait une
limite en zo alors celle-ci était nécessairement unique.
D
La limite (lorsqu'elle existe) d'une application complexe f, définie sur un ouvert U de C, en zo E U étant unique, on peut introduire un symbole pour
désigner cette limite. Comme dans le cas des fonctions de la variable réelle, on
désigne par
lim f ( z)
z-zo
•EU
la limite de l'application f en zo E U. Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté possible
sur l'ensemble de départ de l'application f, on écrit plus simplement lim f ( z).
Remarque Il résulte de la définition 4.10 que
lim f ( z) = l {::: :: :: :} lim f ( zo + w ) = l,
z--+zo
w--+O
Z--+Zo
et, selon les situations, il peut être plus avantageux de privilégier l'une ou
l'autre des deux formes.
o
4.4.2 Étude de la limite
Contrairement au cas des fonctions réelles de la variable réelle, nous allons voir
que dans le cas des fonctions complexes de la variable complexe, il est en général
beaucoup plus facile (d'un point de vue pratique) de montrer qu'une fonction
n'a pas de limite en un point que de montrer qu'elle en a une.
Un moyen pratique d'établir qu'une fonction n'a pas de limite
Soient f une application complexe définie sur un ouvert U de C admettant pour
limite en zo E U le complexe l et "( un arc géométrique de classe c i représenté
par un arc paramétré le point d'affixe zo et que zo =
l où M = sups E I l