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Limite d'une fonction de la variable complexe
Exemples
1. L'application f : z E C f-+ z e i a E C où a désigne un nombre réel fixé (cette
application représente une rotation d'angle a de centre 0) admet pour limite
i = 0 en z0 = O. En effet, pour tout réel c strictement positif, il existe un réel
strictement positif 'T/ (prendre par exemple 'T/ = c) tel que si lzl :::; ; 'T/ alors
lf(z) - OI = lze i °'I = lzl :::; ; 'T/ = ê.
2. L'application f : z E C* f-+ z 2 /lzl E C admet pour limite i = 0 en zo =O. En
effet, pour tout réel c strictement positif, il existe un réel strictement positif 'T/
(prendre par exemple 'T/ = c) tel que si lzl :::; ; TJ alors
lf(z) - OI = 1 �:1 1 = lzl :::; ; 'T/ = i.
3. Rappelons que la fonction Arg : z E Cf-+ Arg(z) E] -n, n] qui à un complexe
associe son argument principal n'est pas définie en z0 = O. Toutefois, l'application f : z E C* f-+ z Arg(z) admet pour limite 0 en zo = 0 car pour tout
réel ê strictement positif fixé, il existe un réel strictement positif T/ (prendre par
exemple T/ = t:/n) tel que si lzl :::; ; 'f/ alors
lf(z) - OI = lz Arg(z)I :::; ; nlzl :::; ; 1fTJ = c.
Exercice 4.2 En utilisant la définition 4.10, montrer que :
1 - l'application z E Cf-+ R.e(z) admet pour limite R.e(zo) en zo E C;
2 - l'application z E C f-+ Im(z) admet pour limite Im(zo) en zo E C;
3 - l'application z E Cf-+ z admet pour limite z0 en zo E C;
4 - l'application z E Cf-+ lzl admet pour limite lzo l en zo E C.
PROPOSITION 4.2 Soient U un ouvert non vide de C et z0 un point adhérent
à U. Si l'application f de U dans C admet une limite en z0 alors cette limite
est unique.
Démonstration Raisonnons par l'absurde et supposons que l'application f
admette en z0 deux limites f 1 et i 2 distinctes. D'après la définition 4.10 considérée avec ê = k lt'1 - t' 2 I, on a d'une part,
et d'autre part,