Fo nctions complexes de la variable complexe
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.X Une autre façon d'interpréter la définition 4.10 est la suivante : pour toute
boule centrée en Pet de rayon e:, on peut trouver une boule D{zo, 17) de centre zo
et de rayon 1J dont les points qui appartiennent aussi à U, ont tous une image
par f appartenant à la boule D(P, e:) , i.e. telle que j(D(zo, 17) n U) c D(P, e:) .
u
Fig. 5 Interprétation graphique de la définition de la limite.
Remarques
1. L'application f de U dans C n'admet pas de limite en z0 si
Vf E C 3e: ER+ \117 ER+ 3z EU (lz - zol � 1J et lf(z) - Pl > e:) .
Cette assertion est la négation de l'assertion quantifiée donnée à la définition 4.10. Elle s'interprète de la manière suivante : f n'a pas de limite en zo
si pour tout complexe P, on peut trouver un réel e: strictement positif tel que
quel que soit le rayon 1J de la boule centrée en zo, au moins un élément de cette
boule possède une image par f qui est distante de P de plus que e:.
2. Dans la définition 4.10, on peut prendre des inégalités larges ou des inégalités
strictes ; on obtient des définitions équivalentes pour la limite en zo de f. Par
ailleurs, on peut étendre la notion de limite à une application f définie sur un
ensemble U non nécessairement ouvert.
3. Il résulte des relations
!Re(f(z)) - Re(P)I = !Re(f(z) - P)I � lf(z) - Pl
et IIm(f(z)) - Im(P)I = IIm(f(z) - P)I � lf(z) - P l
que si l'application f de U dans C admet pour limite en zo le complexe P alors
les applications Re(!) et Im(f) de U dans R admettent respectivement pour
limite en zo les réels Re(P) et Im(P). Réciproquement, puisque
lf(z) - Pl 2 � (Re(f(z)) - Re(P)) 2 + (Im(f(z)) - Im(P)) 2 ,
si les applications Re(!) et Im(f) admettent pour limites respectives en z0 les
réels a et b alors l'application f admet pour limite en zo le complexe a+ i b. o