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Fonctions complexes d'une variable complexe
La bijection réciproque de R est la rotation R - 1 : z E
d'affixe z a pour image par V un point A1' tel que OM' = k OM.
La bijection réciproque de V est la dilatation v-1 : z E
H omographie. L'application 1-l : z E
E
cz +
désignent quatre complexes tels que ad - be f. 0 est appelée homographie.
4.3.3 Représentation graphique d'une fonction de la variable complexe
La représentation graphique d'une fonction complexe de la variable complexe
n'est pas aisée car l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée étant dans le
plan complexe, pour disposer d'une représentation graphique analogue à celle
que l'on connaît pour les fonctions réelle de la variable réelle, il faudrait pouvoir visualiser un espace de dimension 4. Les représentations graphiques des
fonctions complexes de la variable complexe sont donc « partielles » au sens où
il faut choisir les aspects à privilégier pour la fonction (partie réelle, imaginaire,
module, argument ... ).
Nous allons illustrer les différentes façons de représenter une fonction complexe
de la variable complexe en considérant la fonction f : z E
On peut représenter une fonction complexe de la variable complexe en représentant séparément la partie réelle et la partie imaginaire. On visualise ainsi
la fonction par deux surfaces dans l'espace. Si on associe au complexe z le
couple (x, y) de IR 2 formé de sa partie réelle et de sa partie imaginaire, on représente graphiquement les deux fonctions fr : (x, y) E IR 2 i--+ Re(f(x + iy)) et
fi : (x, y) E IR 2 i--+ Im(f (x + iy)).
Dans le cas de notre exemple on a z 2 = (x + iy) 2 = x2 - y 2 + 2ixy et on
représente simultanément fr : (x, y) E IR 2 i--+ x2 - y2 et fi : (x, y) E IR 2 i--+ 2xy.
> f:=z->z�2:
> f_r:=unapply(Re(subs(z=x+I*y,f(z))),x,y):
> f_i:=unapply(Im(subs(z=x+I*y,f(z))),x,y):
> plot3d(f_r(x,y),x=-2 .. 2,y=-2 .. 2,axes=framed);
> plot3d(f_i(x,y),x=-2 .. 2,y=-2 .. 2,axes=framed);
Fonctions complexes d'une variable complexe
La bijection réciproque de R est la rotation R - 1 : z E
d'affixe z a pour image par V un point A1' tel que OM' = k OM.
La bijection réciproque de V est la dilatation v-1 : z E
H omographie. L'application 1-l : z E
E
cz +
désignent quatre complexes tels que ad - be f. 0 est appelée homographie.
4.3.3 Représentation graphique d'une fonction de la variable complexe
La représentation graphique d'une fonction complexe de la variable complexe
n'est pas aisée car l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée étant dans le
plan complexe, pour disposer d'une représentation graphique analogue à celle
que l'on connaît pour les fonctions réelle de la variable réelle, il faudrait pouvoir visualiser un espace de dimension 4. Les représentations graphiques des
fonctions complexes de la variable complexe sont donc « partielles » au sens où
il faut choisir les aspects à privilégier pour la fonction (partie réelle, imaginaire,
module, argument ... ).
Nous allons illustrer les différentes façons de représenter une fonction complexe
de la variable complexe en considérant la fonction f : z E
On peut représenter une fonction complexe de la variable complexe en représentant séparément la partie réelle et la partie imaginaire. On visualise ainsi
la fonction par deux surfaces dans l'espace. Si on associe au complexe z le
couple (x, y) de IR 2 formé de sa partie réelle et de sa partie imaginaire, on représente graphiquement les deux fonctions fr : (x, y) E IR 2 i--+ Re(f(x + iy)) et
fi : (x, y) E IR 2 i--+ Im(f (x + iy)).
Dans le cas de notre exemple on a z 2 = (x + iy) 2 = x2 - y 2 + 2ixy et on
représente simultanément fr : (x, y) E IR 2 i--+ x2 - y2 et fi : (x, y) E IR 2 i--+ 2xy.
> f:=z->z�2:
> f_r:=unapply(Re(subs(z=x+I*y,f(z))),x,y):
> f_i:=unapply(Im(subs(z=x+I*y,f(z))),x,y):
> plot3d(f_r(x,y),x=-2 .. 2,y=-2 .. 2,axes=framed);
> plot3d(f_i(x,y),x=-2 .. 2,y=-2 .. 2,axes=framed);